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专题限时集训(十五)选修44坐标系与参数方程(建议用时：20分钟)1(2019长春高三质量监测一)已知直线l的参数方程为(t为参数，0)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为212cos 4sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|2，求的值解(1)圆C的直角坐标方程为x2y22x4y10.(2)将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有t24tsin 0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t24sin ，t1t20.由|AB|t1t2|t1t2|4sin 2，得sin ，所以或.2在平面直角坐标系中，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为4cos .(1)求曲线C2的参数方程；(2)已知点M在第一象限，四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形，求内接矩形MNPQ周长的最大值，并求周长最大时点M的坐标解(1)由4cos 得曲线C1的直角坐标方程为(x2)2y24，经过变换后的曲线对应的方程为y21，即曲线C2的普通方程，曲线C2的参数方程为(为参数)(2)设四边形MNPQ的周长为l，点M(2cos ，sin )，则l8cos 4sin 44sin()，其中cos ，sin .0，sinsin()1，当2k，kZ时，l取得最大值，此时2k，kZ，lmax4，2cos 2sin ，sin cos ，M.3在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos sin 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|8，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值及此时B点的极坐标解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|8，得8，所以C2的极坐标方程为2(sin cos )(0)所以C2的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设及(1)知|OA|4，B2(sin cos )，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB42(sin cos )42|cos 2|2，当0时，S取得最大值2，此时B2(sin 0cos 0)2.所以OAB面积的最大值为2，此时B点的极坐标为(2,0)押题依据内容直线与圆的位置关系、直线的参数方程的几何意义、最值问题直线与圆的位置关系是高考的热点之一，而参数方程的几何意义是考查的重点，应用三角函数的知识求最值是高考的热点，符合高考模式.【押题】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4cos .(1)当m2，时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)当m1时，若直线l与曲线C相交于A，B两点，设P(1,0)，当|PA|PB|取得最大值时，求直线l的倾斜角解(1)由4cos ，得24cos ，将代入，得曲线C的直角坐标方程为(x2)2y24，所以曲线C是以(2,0)为圆心，2为半径的圆由直线l的参数方程为(t为参数)，得直线l的普通方程为xy20.所以圆心(2,0)到直线l的距离d2，又圆C的半径为2，故直线l与曲线C相切(2)由题知，直线l为经过点P(1,0)且倾斜角为的直线，把代入(x2)2y24，整理得t22tcos 30，(2cos )2120，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t22cos ，t1t230，所以t1，t2异号，则|PA|PB|t1t2|2cos |2，当|cos |1，即0时，|PA|PB|取得最大值2.所以当|PA|PB|取得最大值时，直线l的倾斜角0.- 3 -
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