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专题限时集训(四)数列求和与综合问题专题通关练(建议用时：30分钟)1等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12B10C8D2log35B由等比数列的性质，知a5a6a4a79，所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3(a1a2a3a10)log3(a5a6)5log39510，故选B.2已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B.C. D.Ban1Sn1Sn，且Sn2an1，Sn2(Sn1Sn)，即.Sn是首项为1，公比为的等比数列，即Sn.3已知等比数列an的前n项和为Sna2n1，则a的值为()A B.C D.A当n2时，anSnSn1a2n1a2n2a2n2，当n1时，a1S1a，a，a.故选A.4设数列an的前n项和为Sn，且a12，anan12n(nN*)，则S13()A. B.C. D.D由题意，a12，n2时，a2a322，n4时，a4a524，n6时，a6a726，n8时，a8a928，n10时，a10a11210，n12时，a12a13212，S132222426282102122.故选D.5(2019衡水模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，若Sm15，Sm11，Sm121，则m等于( )A3B4C5D6C在等比数列中，因为Sm15，Sm11，Sm121，所以amSmSm111516，am1Sm1Sm32.则公比q2，因为Sm11，所以11，又am1a1(2)m32，两式联立解得m5，a11.6一题多解设Sn为数列an的前n项和，且a14，an1Sn，nN*，则a5_.32法一：由an1Sn，得Sn1SnSn，则Sn12Sn.又S1a14，所以数列Sn是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn42n12n1，则a5S5S4262532.法二：当n2时，由an1Sn，得anSn1，两式相减，得an1anan，即an12an，所以数列an是从第2项开始，公比为2的等比数列又a2S14，所以a5a22342332.7已知数列an的前n项和为Sn，a11，a22，且an22an1an0(nN*)，记Tn(nN*)，则T2 020_.由an22an1an0可知数列an是等差数列，则公差da2a1211.Snna1dn.2，Tn2121，T2 0202.8设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”若一个首项为1，公差为d(d0)的等差数列an为“和谐数列”，则该等差数列的公差d_.2由k(k为常数)，且a11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0，对任意正整数n，上式恒成立，得数列an的公差为2.能力提升练(建议用时：20分钟)9已知正项数列an满足a2aan1an0，设bnlog2，则数列bn的前n项和为( )An BC DC由a2aan1an0，可得(an1an)(an12an)0，又an0，2，an1a12n，bnlog2log22nn.数列bn的前n项和为，故选C.10已知数列bn满足b11，b24，bn2bncos2，则该数列的前23项的和为( )A4 194B4 195C2 046D2 047A当n为偶数时，bn2bncos2bn1，有bn2bn1，即偶数项成等差数列，所以b2b4b2211b2199.当n为奇数时，bn22bn，即奇数项成等比数列，所以b1b3b2321214 095.所以该数列的前23项的和为994 0954 194，故选A.11重视题(2019惠州调研)已知数列an是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n，记集合x|xaiaj，iN，jN,1ijn的元素个数为cn，把cn的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为_293设ana1(n1)d(d0)，则aiaj2a1(ij2)d，由题意知1ijn，当i1，j2时，ij2取最小值1，当in1，jn时，ij2取最大值2n3，易知ij2可取遍1,2,3，2n3，即cn2n3(n3)数阵中前16行共有12316136(个)数，所以第17行由左向右数第10个数为c14821483293.12已知数列an满足a11，nan12n(n1)(n1)an0，设bn，nN*.(1)证明：bn是等差数列；(2)求数列的前n项和Tn.解(1)因为a11，nan12n(n1)(n1)an0，所以2，所以bn1bn2.因为b11，所以bn是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)得bn1(n1)22n1，nN*，所以，所以Tn，Tn，两式相减，得Tn221，故Tn33.题号内容押题依据1数列的通项an与求和公式Sn的关系由an与Sn的关系求通项公式常以小题形式出现，主要考查转化与化归，分类讨论等思想，难度适中2数列求和，对数运算an与Sn的关系对数运算与数列交汇是高考的命题热点之一，裂项相消法求和简单易行，符合高考的命题形式【押题1】已知数列an的前n项和是Sn，且anSn2n1，则数列an的通项公式an_.2当n1时，由anSn2n1知，a1S1211，即a1a13，解得a1.由anSn2n1，知当n2时，an1Sn12(n1)12n1，得anan1(SnSn1)2，即2anan12，即2(an2)an12，即an2(an12)，故数列an2是以a12为首项，为公比的等比数列，所以an2，即an2. 【押题2】已知数列an满足a12n12(nN*)，bnlog4an.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解(1)当n1时，a12.当n2时，a12n12，a12n2，两式相减得2n，即an22n1，当n1时满足上式，故数列an的通项公式an22n1.(2)因为bnlog422n1，2.所以Tn22.- 6 -
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