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导数的实际应用及综合应用1某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 (1)因为当x5时，y11，所以10(56)211，解得a2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y10(x6)2(3x6)，所以该商场每日销售该商品所获得的利润f(x)10(x6)2(x3)210(x3)(x6)2(3x6)，所以f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x4时，f(x)max42.答：当销售价格定为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大2请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F是AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)若广告商要包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 (1)根据题意，有S4x(602x)240x8x28(x15)21800(0x30)所以x15时包装盒侧面积S最大(2)根据题意，有V(x)2(602x)2x2(30x)(0x30)所以V6x(20x)当0x0，V单调递增；当20x30时，V0，V单调递减所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，包装盒的高与底面边长的比值为，即x20时，包装盒容积V(cm3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.3已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围 (1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)(i)设a0，则当x(，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(ii)设a，则ln(2a)0；当x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减若a1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a(b2b)0，所以f(x)有两个零点(ii)设a0，则f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一个零点(iii)设a0，若a，则由(1)知，f(x)在(1，)上单调递增又当x1时，f(x)0，故f(x)不存在两个零点；若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增又当x1时，f(x)0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln()当x(，ln()时，f(x)0.故f(x)在(，ln()上单调递减，在(ln()，)上单调递增(2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a，从而当且仅当a2ln a0，即a1时，f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln()时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln()a2ln()，从而当且仅当a2ln()0，即a2时，f(x)0.综上，a的取值范围是2，15
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