2020版高考数学一轮复习 课后限时集训29 等差数列及其前n项和（含解析）理

课后限时集训(二十九)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1在等差数列an中，若前10项的和S1060，且a77，则a4( )A4 B4 C5 D5C法一：由题意得解得a4a13d5，故选C.法二：由等差数列的性质有a1a10a7a4，S1060，a1a1012.又a77，a45，故选C.2设等差数列an的前n项和为Sn，且a2a7a1224，则S13( )A52 B78 C104 D208C由a2a7a1224得3a724，即a78，S1313a7138104，故选C.3在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则该数列的通项为( )Aan BanCan DanA由已知式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.4设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，m2，mN*，则m( )A3 B4 C5 D6Can是等差数列，Sm12，Sm0，amSmSm12.又Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又 Sm0，a12，am2(m1)12，m5.5(2019银川模拟)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A6斤 B9斤 C9.5斤 D12斤A依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a14，则a52，由等差数列的性质得a2a4a1a56，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤故选A.二、填空题6在等差数列an中，首项a10，公差d0，若aka1a2a3a7，则k_.22aka1(k1)d(k1)d，a1a2a3a77a47a121d21d，所以k121，得k22.7在等差数列an中，公差d，前100项的和S10045，则a1a3a5a99_.10a2a4a6a100(a1a3a5a99)25，由S10045得a1a3a5a9910.8(2019青岛模拟)若xy，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则_.由题意得a1a2，b1b2，所以.三、解答题9已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)证明：由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.10(2019长春模拟)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解(1)设an的公差为d.由题意，得aa1a13，即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)或d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.B组能力提升1若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是( )A公差为3的等差数列B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列 D公差为9的等差数列Canna11，a2n12na12，a2n2na11，a2n12a2n6n3a14.因此数列a2n12a2n是公差为6的等差数列，故选C.2在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A9日 B8日 C16日 D12日A根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1103，公差d113的等差数列，前n天共跑的里程为Sna1d1103nn(n1)6.5n296.5n；驽马每日行程也构成一个首项b197，公差d20.5的等差数列，前n天共跑的里程为Snb1d297nn(n1)0.25n297.25n.两马相逢时，共跑了一个来回设其第n天相逢，则有6.5n296.5n0.25n297.25n1 1252，解得n9，即它们第9天相遇，故选A.3设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则正整数m的值为_5由题意知amSmSm12，am1Sm1Sm3，则公差dam1am1.由Sm0得0，解得a1am2，则am2(m1)12，解得m5.4(2019武汉模拟)已知数列an满足a12，n(an1n1)(n1)(ann)(nN*)(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn15，求数列|bn|的前n项和Tn.解(1)证明：n(an1n1)(n1)(ann)(nN*)，nan1(n1)an2n(n1)，2，数列是等差数列，其公差为2，首项为2，22(n1)2n.(2)由(1)知an2n2，bn152n15，则数列bn的前n项和Snn214n.令bn2n150，nN*，解得n7.n7时，数列|bn|的前n项和Tnb1b2bnSnn214n.n8时，数列|bn|的前n项和Tnb1b2b7b8bn2S7Sn2(72147)n214nn214n98.Tn- 5 -