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专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).基础知识融会贯通1函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数【知识拓展】简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数ytan x的定义域为.重点难点突破【题型一】函数的概念【典型例题】若函数yf（x）的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf（x）的图象可能是（）ABCD【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定故选：B【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（）AByarcsin（sinx）和ysin（arcsinx）Cyx和yarccos（cosx）Dyx（x0，1）和yx2（x0，1）【解答】解：Aylog22xx，函数的定义域为R，yx，函数的定义域为x|x0，两个函数的定义域不相同，不是同一函数Bysin（arcsinx）的定义域为1，1，yarcsin（sinx）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数Cyarccos（cosx）的值域是，yx的值域是R，不是相同函数Dyx对应的点为（0，0），（1，1），yx2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同【题型二】函数的定义域问题命题点1求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）f（x）+f（x）的定义域为（）A（1，2B（1，1）C（2，2）D2，2【解答】解：解得，1x2；要使g（x）有意义，则：；解得1x1；g（x）的定义域为（1，1）故选：B【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A（1，2）B（1，4）CRD（，1）（1，）【解答】解：数f（x）的定义域为（1，2），由1x22，得x1或1x即函数f（x2）的定义域是（，1）（1，）故选：D命题点2已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）（1）当a5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围【解答】解：（1）当a5时，f（x），由|x1|+|x2|50，得或或，解得：x4或x1，即函数f（x）的定义域为x|x1或x4（2）由题可知|x1|+|x2|a0恒成立，即a|x1|+|x2|恒成立，而|x1|+|x2|（x1）+（2x）|1，所以a1，即a的取值范围为（，1【再练一题】函数的定义域为R，则实数k的取值范围是 【解答】解：函数的定义域为R，关于x的不等式2kx2kx0恒成立，k0时，不等式为0恒成立；k0时，应满足k242k0，解得0k3，综上，实数k的取值范围是0，3）故答案为：0，3）思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)0时，, 则（ ）A4 B-4 C D【答案】B【解析】结合奇函数的概念，可知，所以，故选B。15已知函数，则满足的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意，根据函数的解析式可知，当时，解得，当时，所以当时，恒成立；当 时，因为，所以恒成立,综上：故选：B16已知函数(1)求函数f(x)的最小值；(2)已知mR，p：关于x的不等式f(x)m22m2对任意xR恒成立，q：函数y(m21)x是增函数，若p正确，q错误，求实数m的取值范围【答案】（1）1；（2）【解析】(1)作出函数f(x)的图象，如图所示可知函数f(x)在x2处取得最小值1.(2)若p正确，则由(1)得m22m21，即m22m30，所以3m1.若q正确，则函数y(m21)x是增函数，则m211，解得m.又p正确q错误，则解得m1.即实数m的取值范围是17已知函数，.（）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；（）当时，求的最大值.【答案】（I）；（II）.【解析】（）当时，（）当时， 可知在上单调递增，在单调递减.18根据已知条件，求函数的解析式（）已知为一次函数，且，求的解析式（）下图为二次函数的图像，求该函数的解析式【答案】（1）；（2）【解析】（）为一次函数，设，（）如图所示，二次函数过三点，代入得，解得， 19设函数为常数），且方程有两个实根为（1）求的解析式；（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由解得（2）证明：已知函数都是奇函数所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形而 可知，函数的图像沿轴方向向右平移1个单位，再沿轴方向向上平移1个单位,即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形20某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值单位：与游玩时间小时)满足关系式：；3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为即累积经验值不变)；超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50当时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围【答案】； 【解析】解：，当时，当时，则，综上，能力提升训练1存在函数满足对任意都有( )A BC D【答案】D【解析】对于选项A，令可得，令可得，不符合函数的定义，选项A错误；对于选项B，令可得，令可得，不符合函数的定义，选项B错误；对于选项C，令可得无意义，则函数不是定义在R上的函数，选项C错误；对于选项D，则，即存在函数满足，选项D正确.本题选择D选项.2若函数是R上的单调函数，且对任意的实数x都有，则 ( )A B C D1【答案】C【解析】假设，得到，进而从而，因为是单调函数，所以当，得到，所以，因而，故选C。3若函数上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是( )A B6 C8 D10【答案】D【解析】对任意，都有，且函数上是单调函数，故，即，解得，故，故选D.4设函数满足，且对任意都有，则 ()A0 B1 C2 017 D2 018【答案】D【解析】令xy0，则f（1）f(0)f(0)f(0)211122，令y0，则f（1）f(x)f(0)f(0)x2，将f(0)1，f（1）2代入，可得f(x)1x，f(2 017)2018故选D5若都是定义在实数集上的函数，且有实数解，则以下函数，中，不可能是的有（）A个 B2个 C个 D个【答案】C【解析】因为，所以，因为有实数解，所以有实数解.因为，所以A可能是,因为，所以B不可能是,因为，所以C不可能是,因为，而所以D不可能是,综上，不可能是的有3个，选C.6若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=x2+1，值域为5，10的“孪生函数”共有（）A4个 B8个 C9个 D12个【答案】C【解析】由得 ,所以定义域可为,共9种情况,所以选C.7若函数）的值域是，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】当时，故，因为函数的值域是，所以单调递增，故，则，解得.故选D.8已知函数，则方程的实根个数不可能为（ ）A8 B7 C6 D5【答案】D【解析】，令tx1，则t（，31，+）可得f（t）a，画出yf（x）的图象，当a1时，t1，2，4，由tx1的图象可得x有6个解；当alog35，即有t3，3，由tx1的图象可得x有7个解；当log35a2时，t有一个小于3的解，三个大于1的解，由tx1的图象可得x有8个解；综上可得方程的实根个数不可能为5故选：D9已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是( )A B C D【答案】C【解析】函数yf（f（x）+1的零点，即方程ff（x）1的解个数，（1）当a0时，f（x），当x1时，x，f（f（x）1成立，方程ff（x）1有1解当0x1，log2x0，方程ff（x）1无解，当x0时，f（x）1，f（f（x）0，方程ff（x）1无解，f（f（x）1有1解，故a0不符合题意，（2）当a0时，当x1时，x，f（f（x）1成立，当0x1，log2x0，方程ff（x）1有1解，当x0时，0f（x）1，f（f（x）1有1解，当x时，f（x）0，f（f（x）1有1解，故，f（f（x）1有4解，（3）当a0时，当x1时，x，f（f（x）1成立，f（f（x）1有1解，当0x1时，f（x）0，成立, 方程ff（x）1无解，当x0时，f（x）1，成立, 方程ff（x）1无解， 故f（f（x）1有1解，不符合题意，综上：a0故选：C10定义域为的函数，若关于的方程,恰有5个不同的实数解，则等于（ ）A B C D【答案】C【解析】一元二次方程最多两个解，当时，方程至多四个解，不满足题意，当是方程的一个解时，才有可能5个解，结合图象性质，可知，即.故答案为C.25
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