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课后限时集训(二十六)平面向量的数量积与平面向量应用举例(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1(2018陕西二模)已知向量a(2,3)，b(x,4)若a(ab)，则x()A1B.C2D3B由题意，得ab(2x，1)因为a(ab)，所以2(2x)3(1)0，解得x，故选B.2已知向量a(x2，x2)，b(，1)，c(1，)，若ab，则a与c夹角为()A. B. C. D.Acosb，c，又由x20且ab得a，b是反向共线，则cosa，ccosb，c，a，c0，则a，c，故选A.3(2019西宁模拟)如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算()A10 B11 C12 D13B以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，(4,1)，(2,3)，421311，故选B.4(2019银川模拟)在正方形ABCD中，点E为BC的中点，若点F满足，且0，则()A. B. C. D.A以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形ABCD的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(2,1)，由于，则点F在直线AC上，设F(a，a)，那么(2,1)(a2，a)3a40，解得a，结合，可得2，解得，故选A.5已知平面向量a，b，c满足|a|b|c|1，若ab，则(ac)(2bc)的最小值为()A2 B C1 D0B因为ab|a|b|cosa，bcosa，b，所以a，b.不妨设a(1,0)，b，c(cos ，sin )，则(ac)(2bc)2abac2bcc21cos 21sin ，所以(ac)(2bc)的最小值为，故选B.二、填空题6(2019青岛模拟)已知向量a，b满足|b|5，|ab|4，|ab|6，则向量a在向量b上的投影为_1设向量a，b的夹角为，则|ab|2|a|22|a|b|cos |b|2|a|210|a|cos 2516，|ab|2|a|22|a|b|cos |b|2|a|210|a|cos 2536，两式相减整理得|a|cos 1，即向量a在向量b上的投影为|a|cos 1.7(2018南昌一模)平面向量a(1，m)，b(4，m)，若有(2|a|b|)(ab)0，则实数m_.2由题意可得ab0，则2|a|b|，即4(1m2)16m2，解得m24，m2.8已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n与tmn夹角为钝角，则实数t的取值范围是_(，0)(0,4)n与(tmn)夹角为钝角，n(tmn)0且n与(tmn)不共线又mn|m|n|cosm，nn2n2.即n2n20且t0，t4且t0.三、解答题9(2017江苏高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.10已知|a|2，|b|1.(1)若ab，求(2ab)(ab)的值；(2)若不等式|axb|ab|对一切实数x恒成立，求a与b夹角的大小解(1)ab，ab0，(2ab)(ab)2a2abb27.(2)设向量a，b的夹角为，则ab|a|b|cos 2cos .不等式|axb|ab|两边平方可得：a22abxx2b2a22abb2，即：44xcos x244cos 1.整理得：x24xcos 4cos 10.(*)因为不等式对一切实数x恒成立，则16cos24(4cos 1)4(4cos24cos 1)4(2cos 1)20，2cos 10，即cos .又0，.B组能力提升1(2018石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.A由|ab|ab|知，ab0，所以ab.将|ab|2|b|两边平方，得|a|22ab|b|24|b|2，所以|a|23|b|2，所以|a|b|，所以cosab，a，所以向量ab与a的夹角为，故选A.2(2018天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A. B.C. D3A以D为原点建立平面直角坐标系，如图所示连接AC，易知CADCAB60，ACDACB30，D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)设E(0，y)(0y)，则(1，y)，y2y2，当y时，有最小值，故选A.3在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，ac3，cos B，则_.由a，b，c成等比数列得acb2，在ABC中，由余弦定理可得cos B，则，解得ac2，则accos(B)accos B.4在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(1,0)，|1，且AOC，其中O为坐标原点(1)若，设点D为线段OA上的动点，求|的最小值；(2)若，向量m，n(1cos ，sin 2cos )，求mn的最小值及对应的值解(1)设D(t,0)(0t1)，由题意知C，所以，所以|2tt2t2t12，所以当t时，|最小，为.(2)由题意得C(cos ，sin )，m(cos 1，sin )，则mn1cos2sin22sin cos 1cos 2sin 21sin，因为，所以2，所以当2，即时，sin取得最大值1.所以mn的最小值为1，此时.- 6 -
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