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“新定义”题型的探究（2017昌平二模）29在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于C及C外一点P，M，N是C上两点，当MPN最大时，称MPN为点P关于C的“视角”（1）如图，O的半径为1，已知点A（0，2），画出点A关于O的“视角”；若点P在直线x = 2上，则点P关于O的最大“视角”的度数；在第一象限内有一点B（m，m），点B关于O的“视角”为60，求点B的坐标；若点P在直线上，且点P关于O的“视角”大于60，求点P的横坐标的取值范围（2）C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，-1），若线段EF上所有的点关于C的“视角”都小于120，直接写出点C的横坐标的取值范围（2017房山二模）我们定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数,例如与就是一对交换函数.（1）写出一次函数的交换函数.（2）当时，写出(1)中两函数图象的交点的横坐标.（3）如果(1)中两函数图象与y轴围成三角形的面积为3,求b的值.（2017房山二模）28.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.（1）如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件（2）问题探究小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形.她的猜想正确吗？请说明理由（3）如图2，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，BAD+BCD=90，AC，BD为对角线，.试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论（2017通州二模）29我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d.（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A(1,0)的距离跨度 ； B(,)的距离跨度 ；C(-3,-2)的距离跨度 ；根据中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 .（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D(-1,0)为圆心，2为半径的圆，直线上存在到G2的距离跨度为2的点，求的取值范围。（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线（），E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到E 的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围_（2017朝阳二模）29. 在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r0)的O和点P，给出如下定义：若rPO，则称P为O的“近外点”（1）当O 的半径为2时，点A(4，0)， B (，0)，C(0， 3)，D (1，-1)中，O的“近外点”是 ；（2）若点E（3，4）是O的“近外点”，求O的半径r的取值范围；（3）当O 的半径为2时，直线（b0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在O的“近外点”，直接写出b的取值范围.（2017西城二模）29在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，对于ABC的“横长”、“纵长”、“纵横比”给出如下定义：将|x1 x2|，|x2 x3|，|x3 x1|中的最大值，称为ABC的“横长”，记作Dx；将|y1 y 2|，| y 2 y 3|，| y 3 y 1|中的最大值，称为ABC的“纵长”，记作Dy；把叫做ABC “纵横比”，记作 例如：如图1,ABC的三个顶点的坐标分别是A (,),B (,),C(,) 则Dx=|()|=.Dy=|()|=.纵横比（1）如图2,点A(1，0).点B(2，1) ，E(-1，2)， 则AOB的纵横比，AOE的纵横比； 点在F第四象限，若AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；点M是双曲线上一个动点，若AOM的纵横比为1，求点M的坐标；（2）如图3,点A(1，0)，P以P(0，)为圆心，1为半径，点N是P上一个动点，直接写出AON的纵横比的取值范围.（2017东城二模）29在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合.以点P为圆心作经过点Q 的圆，则称该圆为点P，Q的“相关圆”.（1）已知点P的坐标为（2，0）， 若点Q的坐标为（0，1）,求点P，Q的“相关圆”的面积； 若点Q的坐标为（3，n）,且点P，Q的“相关圆”的半径为，求n的值.（2）已知ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为（，0），（，0）,点C在y轴正半轴上.若点P，Q的“相关圆”恰好是ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标.（3）已知ABC三个顶点的坐标为：A（，0），B（，0）,C（0，4），点P的坐标为（0，），点Q的坐标为（m, ）.若点P，Q的“相关圆”与ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围. （2017丰台二模）29. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（1，3）的“可控变点”为点（1，3）（1）点（5，2）的“可控变点”坐标为 ；（2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y 的取值范围是，求实数a的取值范围.（2017石景山二模）29在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的变换点的坐标定义如下：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为. （1）点的变换点的坐标是 ；点的变换点为，连接，则= ；（2）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为.点在抛物线上，点的变换点为.若点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，求的值；（3） 若点是函数（）图象上的一点，点的变换点为，连接，以为直径作，的半径为，请直接写出的取值范围.备用图1 备用图2备用图3 备用图4（2017平谷二模）29如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A（2,3），点B（6,3），连接AB.如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”（1）已知点C（3，1.5），D（4，3.5），E（），则是线段AB的“环绕点”的点是_；（2）已知点P（m，n）在反比例函数的图象上，且点P是线段AB的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围；（3）已知M上有一点P是线段AB的“环绕点”，且点M（4,1），求M的半径r的取值范围 图1 备用图（2017顺义二模）29在平面直角坐标系xOy中，已知点M（1，1），N（1，-1），经过某点且平行于OM、ON或MN的直线，叫该点关于OMN的“关联线” 例如，如图1，点P（3，0）关于OMN的“关联线”是： y=x+3，y=-x+3，x=3（1）在以下3条线中， 是点（4，3）关于OMN的“关联线”（填出所有正确的序号； x=4； y=-x-5； y=x-1 （2）如图2，抛物线经过点A（4，4），顶点B在第一象限，且B点有一条关于OMN的“关联线”是y= -x+5，求此抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，过点A作ACx轴于点C，点E是线段AC上除点C外的任意一点，连接OE，将OCE沿着OE折叠，点C落在点C的位置，当点C在B点关于 OMN的平行于MN的“关联线”上时，满足（2）中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在OE上？ （2017怀柔二模）29. 在平面直角坐标系xOy中，点P和点P关于y=x轴对称，点Q和点P关于R（a,0）中心对称，则称点Q是点P关于y=x轴，点R（a,0）的“轴中对称点”.（1）如图1，已知点A（0,1）.若点B是点A关于y=x轴，点G（3,0）的“轴中对称点”，则点B的坐标为 ；若点C（-3,0）是点A关于y=x轴，点R（a,0）的“轴中对称点”，则a= ;（2）如图2，O的半径为1，若O上存在点M，使得点M是点M关于y=x轴，点T（b，0）的“轴中对称点”，且点M在射线y=x-4(x4)上.O上的点M关于y=x轴对称时，对称点组成的图形是 ;求b的取值范围;图1图2（3）E的半径为2，点E（0，t）是y轴上的动点，若E上存在点N，使得点N是点N关于y=x轴，点（2，0）的“轴中对称点”，并且N在直线上，请直接写出t的取值范围. 备用图
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