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考点十一等差数列与等比数列一、选择题1已知数列an为等比数列，且a34，a716，则a5()A8 B8 C8 D4答案A解析由q4得q44，则q22，所以a5a3q2428，故选A.2已知正项数列an中，a11，a22,2aaa，则a6()A16 B8 C4 D2答案C解析由2aaa知，数列a是等差数列，前两项为1,4，所以公差d3，故a15316，所以a64，故选C.3在数列an中，“an2an1，n2,3,4，”是“an是公比为2的等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析若an2an1，n2,3,4，则此数列可以为0,0,0,0,0，此时an不是等比数列；若an是公比为2的等比数列，则由等比数列的定义可知an2an1，n2,3,4，.故选B.4(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n答案A解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S40，a55可得解得所以an32(n1)2n5，Snn(3)2n24n.故选A.5(2019湖南六校联考)已知公差d0的等差数列an满足a11，且a2，a42，a6成等比数列，若正整数m，n满足mn10，则aman()A10 B20 C30 D5或40答案C解析由题知(a42)2a2a6，因为an为等差数列，所以(3d1)2(1d)(15d)，因为d0，解得d3，从而aman(mn)d30，故选C.6(2019河南百校联盟仿真试卷)已知等差数列an满足a132，a2a340，则|an|的前12项和为()A144 B80 C144 D304答案D解析a2a32a13d643d40d8，所以an408n.所以|an|408n|所以前12项和为80224304.7已知数列an的前n项和Snan2bn(a，bR)且a23，a611，则S7等于()A13 B49 C35 D63答案B解析由Snan2bn(a，bR)可知数列an是等差数列，所以S749.选B.8已知等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6 B7 C8 D9答案A解析由a4a62a56得a53，则公差为2，所以由an11(n1)22n130得n，所以前6项和最小，选A.二、填空题9设等差数列an的前n项和为Sn，若2，则_.答案解析设等差数列an的公差为d，2，即a33d2a3，a33d，.10等比数列an的前n项和为Sn，已知a3，S3，则公比q_.答案1或解析因为所以即即2，所以2q2q10，解得q1或q.11(2019广东广州天河区综合测试一)在等差数列an中，首项a10，公差d0，若ama1a2a3a20，则m_.答案191解析等差数列an中，首项a10，公差d0，ama1a2a3a20，则amd2d19dd190da191，m191.12(2019河南新乡第一次模拟)设Sn是数列an的前n项和，且a11，(n1)an1(n1)Sn，则Sn_.答案解析(n1)an1(n1)Sn，nan1Sn1nSn，n(Sn1Sn)Sn1nSn，2，nSn是首项为1，公比为2的等比数列，则nSn2n1，Sn.三、解答题13(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9a5.(1)若a34，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，根据题意有解得所以an8(n1)(2)2n10.(2)由(1)知a50，即a5a14d0，即a14d，又a10，所以d0，由Snan得na1da1(n1)d，整理得(n29n)d(2n10)d，因为d0，所以2anan10，即2，所以数列an是公比为2的等比数列，2n，所以bnlog2log22nn，所以数列bn的前n项和Sn123n.二、填空题9(2019江西抚州七校联考)等比数列an的前n项和为Sn，若S1010，S3030，则S20_.答案20解析因为等比数列an的前n项和为Sn，所以S10，S20S10，S30S20成等比数列，因为S1010，S3030，所以(S2010)210(30S20)，解得S2020或S2010，因为S20S10q10S100，所以S200，则S2020.10(2019广东深圳适应性考试)等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，数列an的前20项和S20_.答案200或330解析设数列an的公差为d，则a3a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d，又a3a10a，即(10d)(106d)(102d)2，整理得10d210d0，解得d0或d1.当d0时，S2020a4200；当d1时，a1a43d10317，于是，S2020a1d207190330.11(2019河北唐山质检)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析由已知得an1Sn1SnSn1Sn，两边同时除以Sn1Sn，得1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则1(n1)n，所以Sn.12(2019山东德州第一次考试)数列an的前n项和为Sn，若a11，an0,3Snanan11，则a2019_.答案3028解析数列an的前n项和为Sn，若a11,3Snanan11，当n1时，整理得3S13a1a1a21，解得a22，当n2时，3Sn1an1an1，得，3anan(an1an1)，由于an0，故an1an13(常数)，故数列an的奇数项为首项为1，公差为3的等差数列，则an13.数列an的偶数项为首项为2，公差为3的等差数列，an23，所以a2019133028.三、解答题13(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.14(2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1，所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.- 8 -
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