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课下层级训练(三十六)空间点、直线、平面的位置关系A级基础强化训练1(2019山东泰安模拟)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是()A垂直B相交C异面D平行【答案】D是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m，n，n在平面内，Am，A，A是m和平面相交的点，m和n异面或相交，一定不平行2(2019甘肃兰州统考)已知直线m，n和平面，则mn的一个必要条件是()Am，nBm，nCm，nDm，n与平面成等角【答案】DA中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面内，必要性不成立；D中，m，n平行，则m，n与成的角一定相等，但反之如果两直线m，n与成的角相等则不一定平行，所以是必要非充分条件3正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交B异面C平行D垂直【答案】A如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交4(2019山东菏泽检测)下列四个命题：存在与两条异面直线都平行的平面；过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；过直线外一点可作无数个平面与该直线平行其中正确命题的个数是()A1B2C3D4【答案】C将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故正确；当过该点的平面过其中一条直线时，这个平面与两条异面直线都平行是错误的，故不正确；正确；正确5(2019山东临沂检测)已知在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB，AD，BD，AA11，则异面直线A1B与B1D1所成角的大小为()ABCD【答案】B如图所示：在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB，AD，AA11.所以D1C，B1C.且易知D1CA1B，所以B1D1C(或其补角)即为所求在B1D1C中，D1C，B1C，BD，所以D1CB1，B1D1C.6若平面，相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面【答案】1或4如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面7(2019山东聊城检测)如图，点M，N分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点，则MN和CD1所成角的大小是_.【答案】60 因为MNBC1，CD1A1B，所以A1BC1就是MN和CD1所成角，而A1BC1是等边三角形，所以A1BC160.8(2019山东东营检测)下列命题中不正确的是_.(填序号)没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面【答案】没有公共点的两条直线平行或异面，故错；命题错，此时两直线有可能相交；命题正确，因为若直线a和b异面，ca，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若cb，又ca，则ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不平行；命题正确，若c与两异面直线a，b都相交，可知a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面9如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_.【答案】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.10如图，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2. 求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值【答案】解(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.B级能力提升训练11(2019福建福州质检)直三棱柱ABC A1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45C60D90【答案】C如图，延长CA到点D，使得ADAC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角又A1DA1BDB，所以A1DB为等边三角形，所以DA1B60.12(2019山东菏泽月考)下列命题中正确的个数是()若直线l上有无数个点不在平面内，则l；和两条异面直线都相交的两条直线异面；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面A0B1C2D3【答案】B对于，直线l上有无数个点不在平面内，则直线l可以与平面相交，故错误；对于，和两条异面直线都相交的两条直线可以共面，故错误；对于，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或直线在平面内，故错误；对于，一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面，正确. 综上所述，命题正确的个数为1.13(2019山东淄博检测)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，BAC，ABAC2AA1，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为()ABCD【答案】A将三棱柱补为长方体ABDCA1B1D1C1，异面直线AC1与A1B所成的角即为AC1D，设AA11，则ACCD2，AC1DC1，AD2.由题意知cos AC1D.14设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是_.【答案】0aa，所以0a. 5
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