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课下层级训练(二十五)正弦定理和余弦定理的应用A级基础强化训练1如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80【答案】D由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2(2019湖北十堰调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 kmD10 km【答案】D如图所示，由余弦定理可得，AC210040021020cos 120700，AC10.3(2019河南郑州月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于() A5B15C5D15【答案】D在BCD中，CBD1801530135. 由正弦定理得，所以BC15. 在RtABC中，ABBCtanACB1515.4一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 n mileB10 n mileC20 n mileD20 n mile【答案】A画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20 n mile，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10 n mile.5如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30B45C60D75【答案】B依题意可得AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.6轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.【答案】70设两船之间的距离为d，则d250230225030cos 1204 900，d70，即两船相距70 n mile.7一船以每小时15 km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.【答案】30如图所示，依题意有：AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)8(2018福建福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为_ m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.【答案】22.6由题意可得AB200，AC100，在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC105，则BC100141.42.236，又历时14 s，所以速度为22.6 m/s.9(2019山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC4，CB6. 现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端(1)原计划CD为铅垂线方向，45，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得30，53，求CD2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin 971，cos 530.6)【答案】解(1)CD为铅垂线方向，点D在顶端，CDAB 又45，CDAC4.(2)在ABD中，533083，ABACCB4610，ADB1808397，由得AD5.在ACD中，CD2AD2AC22ADACcos 5242254cos 5317.10已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离【答案】解在RtAMP中，APM30，AM100，PM100，在PQM中，QPM60，又PQ100，PQM为等边三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.B级能力提升训练11(2019广东广州调研)如图所示长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于()ABCD【答案】A由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .12(2019湖北武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A14 hB15 hC16 hD17 h【答案】B记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得OB26002400t2220t600，令OB24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)13(2018福建泉州模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为_ m.【答案】50如图，连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，解得OC50.14(2018山东临沂期中)我国南宋著名数学家秦九韶在数学九章的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里，求三角形沙田的面积请问此田面积为_平方里【答案】84由题意画出图象：且AB13里，BC14里，AC15里，在ABC中，由余弦定理得，cos B，所以sin B，则该沙田的面积：即ABC的面积SABBCsin B131484.15如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离【答案】解(1)依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cosPAB.同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因为cosPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于点D，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD314(km)故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km.16某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100 m的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15方向上，且俯角为30的C处，10 s后测得该客车位于楼房北偏西75方向上，且俯角为45的D处(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80 km/h，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？【答案】解(1)在RtABC中，BAC60，AB100 m，则BC100 m.在RtABD中，BAD45，AB100 m，则BD100 m.在BCD中，DBC751590，则DC200 m，所以客车的速度v20 m/s72 km/h，所以该客车没有超速(2)在RtBCD中，BCD30，又因为DBE15，所以CBE105，所以CEB45.在BCE中，由正弦定理可知，所以EB50 m，即此时客车距楼房50 m. 7
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