资源描述
专题08指数与指数函数最新考纲1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象4.体会指数函数是一类重要的函数模型.基础知识融会贯通1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)于是，在条件a0，m，nN*，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定(a0，m，nN*，且n1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质【知识拓展】1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大3指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究重点难点突破【题型一】指数幂的运算【典型例题】若0a1，b0，且，则abab等于（）AB2或2C2D2【解答】解：，a2b+a2b826（abab）2a2b+a2b240a1，b0，abab，则abab2故选：C【再练一题】设a0，将表示成分数指数幂，其结果是（）ABCD【解答】解：由题意故选：C思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数【题型二】指数函数的图象及应用【典型例题】函数f（x）ax1（a0，a1）的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是（）AyBy|x2|Cy2x1Dylog2（2x）【解答】解：函数f（x）yax1（a0，a1）的图象恒过点A，即x10，可得x1，那么：y1恒过点A（1，1）把x1，y1带入各选项，经考查各选项，只有A没有经过A点故选：A【再练一题】函数的图象的大致形状是（）ABCD【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x），x0时，图象与yax在第一象限的图象一样，x0时，图象与yax的图象关于x轴对称，故选：C思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论【题型三】指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用【典型例题】已知函数f（x）（）x，若af（20.3），bf（2），cf（log25），则a，b，c的大小关系为（）AcbaBabcCcabDbca【解答】解：根据题意，函数f（x）（）x，则f（x）在R上为减函数，又由20.3212log25，则abc；故选：B【再练一题】下列不等关系式正确的是（）ABCD【解答】解：A幂函数y在（0，+）上是增函数，则，故A错误，B函数y在R上是增函数，则，故B错误，C幂函数y在（0，+）上是减函数，则，故C正确，D函数y0.7x在R上是减函数，则，故D错误，故选：C命题点2与指数函数有关的复合函数的单调性【典型例题】已知函数（1）判断f（x）的单调性；（2）求f（x）的值域；（3）解方程f（x）0；（4）求解不等式f（x）0【解答】解：（1）此函数由yt2+t2与t两个函数复合而成，由于t是一个减函数，且其值域为（0，+），函数yt2+t2在（，+）是增函数，此复合函数外增内减，故是单调递减函数；（2）由（1）内层函数的值域是（0，+），外层函数在（0，+）上是增函数，故函数的值域为（2，+）；（3）由f（x）0得t2+t20，解得t2（舍）或t1，令解得x0；（4）由f（x）0得t2+t20解得t1或t2（舍），令，解得x0，即不等式的解集是（，0）【再练一题】已知函数f（x），（1）若a1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有最大值3，求a的值（3）若f（x）的值域是（0，+），求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x），令g（x）x24x+3，由于g（x）在（，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f（x）在（，2）上单调递减，在（2，+）上 单调递增，即函数f（ x）的递增区间是（2，+），递减区间是（，2 ）（2）令h（x）ax24x+3，yh（x），由于f（x）有最大值3，所以 h（x）应有最小值1，因此1，解得a1即当f（x）有最大值3时，a的值等于1（3）由指数函数的性质知，要使yh（x）的值域为（0，+）应使h（x）ax24x+3的值域为R，因此只能有a0因为若a0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R故 a的取值范围是0命题点3指数函数性质的综合应用【典型例题】对于函数f（x）4xm2x+1，若存在实数x0，使得f（x0）f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）AmBmCm1Dm1【解答】解：f（x）4xm2x+1，f（x0）f（x0），mm，m（），2m，令t，则t2，2mt（t2），函数yt与函数y在2，+）上均为单调递增函数，2mt（t2）在2，+）上单调递增，当t2时，2mt（t2）取得最小值1，即2m1，解得：m故选：B【再练一题】函数的值域为（）ABC（0，D（0，2【解答】解：令t（x）2xx2（x1）2+11单调递减即y故选：A思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断基础知识训练1下列说法正确的是（ ）A对任意的，必有B若，对任意的，必有 C若，对任意的，必有D若，总存在，当时，总有【答案】D【解析】对于选项A，取，则，不满足，故A错误；对于选项B，取，则，故选项B错误；对于选项C，取，则，故选项C错误；故选项D一定正确。（选项D中，可知都是增函数，同时二者图象关于直线对称，而函数也是增函数，当足够大时，指数函数的增长速度最大，对数函数的增长速度最慢，故存在，当时，总有.）2若tan=1+lgt，tan=lg，且+=，则实数t的值为（）AB1C或1D1或10【答案】C【解析】tan1+lgt，tanlg，且+，tan（+）tan，11（1+lgt）lg，（1+lgt）lg0，10t1或1，t或1故选：C3函数的单调递增区间为ABCD【答案】C【解析】 在定义域内单调递减根据复合函数单调性可知，只需单调递减即可 结合定义域可得单调递增区间为：本题正确选项：4设正实数a，b满足3a=7b，下面成立的是（）ABCD【答案】B【解析】正实数a，b满足3a=7b，设3a=7b=t，（t0），则a=log3t，b=log7t，=log7tlogt3=log73，故选：B5已知，b=log827，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】D【解析】，log25log231，；abc故选：D6下列四类函数中，具有性质“对任意的，函数满足“”的是（）A幂函数 B对数函数 C指数函数 D一次函数【答案】C【解析】在A中，幂函数不满足性质“对任意的，函数满足“”，故A错误；在B中，对数函数不满足性质“对任意的，函数满足“”，故B错误； 在C中，指数函数满足性质“对任意的，函数满足“”，故C正确； 在D中，一次函数不满足性质“对任意的，函数满足“”，故D错误 故选：C7计算：A1B2C3D4【答案】B【解析】本题正确选项：8已知是定义在上奇函数，当时，则ABCD【答案】A【解析】由题意，函数是定义在上的奇函数，且当时，则，故选A.9关于x的函数上为减函数，则实数a的取值范围是ABCD【答案】C【解析】函数上为减函数，则上为增函数，且在上大于0恒成立则，解得实数a的取值范围是故选：C10成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：lnx1xex3xe，xe推不出x3，x3是lnx1成立的充分不必要条件故选：A11已知，则（ ）ABCD【答案】C【解析】,故故选：C12已知实数，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】D【解析】本题正确选项：13已知，则_【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为14若函数_【答案】6【解析】由题故答案为615设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数_【答案】【解析】函数yf（x）的图象与的图象关于直线yx对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线yx对称的点为（y，x），把（y，x）代入，得x，f（x）log3（-x）+a，f（3）+f（）4，1+a1+a4，解得a2故答案为216 _【答案】2【解析】由题意17计算下列各式的值：（）；（）【答案】（）；（）【解析】（）原式；（）原式18已知函数，求的单调区间；是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【答案】（I）单调增区间为，单调减区间为；（II）存在实数，使的最小值为0.【解析】，可得函数真数为函数定义域为令可得：当时，t为关于x的增函数；当时，t为关于x的减函数底数为函数的单调增区间为，单调减区间为设存在实数a，使的最小值为0，由于底数为，可得真数恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当时，t值为1因此存在实数，使的最小值为019已知函数的图象过点判断函数的奇偶性并求其值域；若关于x的方程上有解，求实数t的取值范围【答案】（）； （）.【解析】函数的图象过点即： （）则的定义域为，关于原点对称且故为偶函数又由 故，即和值域为（）若关于的方程上有解即，即上有解即上有解由对勾函数的图象和性质可得：当时，取最小值；当时，取最大值故实数的取值范围是20已知函数（I）若函数，求函数的定义域；（II）求不等式的解集.【答案】（I）（II）见解析【解析】（I）由得，由，取交集得到，所以函数的定义域为（II）由得，当时，有 得，得由（I）知，所以，当时，有 得由（I）知，所以，综上，解集为（2，3）.能力提升训练1若，则( )ABCD【答案】B【解析】因为上递增，又，所以.故选：B2若，则下列不等式成立的是( )A BC D【答案】A【解析】由可得，又，所以，综上，可得故选A3在同一直角坐标系中，函数f（x）（x0），g（x）的图象可能是（ ）A BC D【答案】D【解析】解：实数a0且a1，函数f（x）xa（x0）是上增函数，故排除A；当a1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）xa（x0）是下凹增函数，g（x）logax的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0a1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）xa（x0）是增函数，g（x）logax是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D故选：D4设则（ ）A BC D【答案】D【解析】上单调递增，即又又 本题正确选项：5已知实数满足，且，则A B2 C4 D8【答案】D【解析】实数满足，故，又由得：，解得：，或舍去，故，故选D6函数的单调递增区间是 （ ）A B C D【答案】D【解析】由x22x80得：x（，2）（4，+），令tx22x8，则ylnt，x（，2）时，tx22x8为减函数；x（4，+）时，tx22x8为增函数；ylnt为增函数，故函数f（x）ln（x22x8）的单调递增区间是（4，+），故选：D7记函数的定义域为M，的定义域为N.（1）求M；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）定义域要求： 即：（2）定义域要求： 即：若，则 即：8已知.（1）若，求t的值；（2）当，且有最小值2时，求的值；（3）当时，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）即（2）， 又单调递增， 当，解得 当， 解得（舍去） 所以 (3），即 ，依题意有 而函数 因为，所以.9设函数值域为R，求实数m的取值范围对于恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】函数设函数，值域为R，是函数的值域的子集；当时，可得，其值域为R，满足题意；当时，则，即，解得：综上可得实数m的取值范围是；，即当时，可得恒成立，即函数恒成立，其对称轴即可可得：解得：当时，可得恒成立，即恒成立，可得：，即，令，则，当时，得综上可得：实数m的取值范围是10已知函数求函数的定义域；求满足的实数的取值范围【答案】，或.【解析】对于函数，应有，求得，或，故该函数的定义域为，或，即，即，求得，即实数x的取值范围为22
展开阅读全文