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第五章 线性系统的频域分析与校正习题与解答 5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。 (a) (b)图5-75 R-C网络 解 （a)依图： (b)依图： 5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出和稳态误差 （1） （2） 解 系统闭环传递函数为: 图5-76 系统结构图频率特性: 幅频特性: 相频特性: 系统误差传递函数: 则 （1）当时, ，rm=1则 （2） 当 时: 5-3 若系统单位阶跃响应 试求系统频率特性。 解 则 频率特性为 5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线： 解 幅频特性如图解5-4(a)。 幅频特性如图解5-4(b)。 图解5-4 幅频特性如图解5-4(c)。5-5 已知系统开环传递函数 试分别计算 和 时开环频率特性的幅值和相角。解 计算可得 5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。 (1) (2) 解 (1) 取为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形三个特殊点： =0时， =0.25时, =时, 幅相特性曲线如图解5-6（1）所示。 图解5-6（1）Nyquist图 图解5-6（2） Nyquist图(2) 两个特殊点： =0时， =时, 幅相特性曲线如图解5-6（2）所示。5-7 已知系统开环传递函数 ； 当时，；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差1。试写出系统开环频率特性表达式。解 先绘制的幅相曲线，然后顺时针转180即可得到幅相曲线。的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。的幅相曲线如图解5-7(c)所示。依题意有： ， ，因此。 另有： 可得： ，。所以： 5-8 已知系统开环传递函数 试概略绘制系统开环幅相频率特性曲线。解 的零极点分布图如图解5 -8(a)所示。变化时，有分析平面各零极点矢量随的变化趋势，可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)所示。5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。(1) ； (2) ； (3) (4) (5) 解 (1) 图解5-9（1） Bode图 Nyquist图(2) 图解5-9（2） Bode图 Nyquist图(3) 图解5-9（3） Bode图 Nyquist图 (4) 图解5-9（4） Bode图 Nyquist图 (5) 图解5-9（5） Bode图 Nyquist图 5-10 若传递函数 式中，为中，除比例和积分两种环节外的部分。试证 式中，为近似对数幅频特性曲线最左端直线（或其延长线）与0dB线交点的频率，如图577所示。证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为。题意即要证明的对数幅频曲线与0db交点处的频率值。因此，令，可得 , 故 ，证毕。 5-11 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线分别如图5-78(a)、(b)和(c)所示。要求： （1）写出对应的传递函数；（2）概略绘制对应的对数相频特性曲线。图 578 511题图解 (a) 依图可写出：其中参数： ，则： 图解5-11（a） Bode图 Nyquist图 (b) 依图可写出 图解5-11（b） Bode图 Nyquist图 (c) 图解5-11（c） Bode图 Nyquist图 5-12 已知、和均为最小相角传递函数，其近似对数幅频特性曲线如图5-79所示。试概略绘制传递函数 的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。 解：(1) 则： 图5-79 5-12题图 (2) , (3) (4) 将代入得：对数频率特性曲线如图解5-12(a)所示,幅相特性曲线如图解5-12(b)所示：图解5-12 (a) Bode图 (b) Nyquist图5-13 试根据奈氏判据，判断题5-80图(1)(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)(10)对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）。解 题5-13计算结果列表题号开环传递函数闭环稳定性备注10-12不稳定2000稳定30-12不稳定4000稳定50-12不稳定6000稳定7000稳定811/20稳定9101不稳定101-1/22不稳定 5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：； （1）时，值的范围；（2）时，值的范围；（3）值的范围。 解 令 ，解出，代入表达式并令其绝对值小于1 得出： 或 （1）时，；（2）时，；（3）值的范围如图解5-14中阴影部分所示。 5-15 已知系统开环传递函数试概略绘制幅相特性曲线，并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。解 作出系统开环零极点分布图如图解5-15（a）所示。的起点、终点为： 与实轴的交点： 令 可解出代入实部 概略绘制幅相特性曲线如图解5-15（b）所示。根据奈氏判据有 所以闭环系统不稳定。 5-16 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-81 (a)、(b)所示。图中 试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。 解 内回路开环传递函数: 大致画出的幅相曲线如图解5-16所示。可见不会包围（-1,j0）点。 即内回路小闭环一定稳定。内回路小闭环极点（即开环极点）在右半S平面的个数为0。 由题5-16图(b)看出:系统开环频率特性包围（-1,j0）点的圈数 N=-1。根据劳斯判据 系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。5-17 已知系统开环传递函数 试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。解 作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。 的起点、终点为： 幅相特性曲线与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数，小于不稳定惯性环节的时间常数，故呈现先增大后减小的变化趋势。绘出幅相特性曲线如图解5-17(b)所示。根据奈氏判据 表明闭环系统不稳定。5-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。 解 作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。当变化时，的变化趋势： 绘出幅相特性曲线如图解5-18(b)所示。根据奈氏判据 表明闭环系统不稳定。 5-19 已知反馈系统，其开环传递函数为 (1) (2) (3) (4) 试用奈氏判据或对数稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定系统的相角裕度和幅值裕度。 解 (1) 画Bode图得： 图解5-19 (1) Bode图 Nyquist图 (2) 画Bode图判定稳定性：Z=P-2N=0-2(-1)=2 系统不稳定。由Bode图得：令： 解得 令： 解得 图解5-19 (2) Bode图 Nyquist图(3) 画Bode图得： 系统临界稳定。 图解5-19 (3) Bode图 Nyquist图 (4) 画Bode图得： 图解5-19(4) Bode图 系统不稳定。5-20 设单位反馈控制系统的开环传递函数为试确定相角裕度为45时的值。 解 开环幅相曲线如图所示。以原点为圆心作单位圆，在点： 即： (1)要求相位裕度 即： (2)联立求解（1）、（2）两式得：， 。 5-24 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图5-82所示。要求（1） 写出系统开环传递函数；（2） 利用相角裕度判断系统的稳定性；（3） 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。解（1）由题5-29图可以写出系统开环传递函数如下： （2）系统的开环相频特性为 截止频率 相角裕度 故系统稳定。（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数其截止频率 而相角裕度 故系统稳定性不变。由时域指标估算公式可得 =所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。5-25 对于典型二阶系统，已知参数，试确定截止频率和相角裕度。解 依题意，可设系统的开环传递函数为绘制开环对数幅频特性曲线如图解5-25所示，得5-26 对于典型二阶系统，已知=15，试计算相角裕度。 解 依题意，可设系统的开环传递函数为 依题 联立求解 有 绘制开环对数幅频特性曲线如图解5-26所示，得 5-27 某单位反馈系统，其开环传递函数 试应用尼柯尔斯图线，绘制闭环系统对数幅频特性和相频特性曲线。 解 由G(s)知：20lg16.7=24.5db交接频率： , , 应用尼柯尔斯曲线得：0.010.050.10.30.631020304050607080100|G|db-15-241319241572-3-7-10-13-16-208885837054-23-94-127-143-151-156-160-163-164-166M (db)-15-4.5-2-.75-0.6-0.501.84.32.3-3.4-7.5-11-16-20694830125-1-11-28-53-110-140-152-158-162-165图解5-27 Bode图 Nyquist图 5-28 某控制系统，其结构图如图5-83所示，图中 图5-83 某控制系统结构图试按以下数据估算系统时域指标和ts。 （1）和c （2）Mr和c（3）闭环幅频特性曲线形状 解 (1) 查图5-56 得 秒 (2) 根据,估算性能指标当 =5 时: L()=0, ()=-111找出: , =6 查图5-62 得 秒 (3) 根据闭环幅频特性的形状 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10L(db) 36 18 9.5 5 3 0 -2 -4 -5 -7 -20()-142.5 -130-118.5 -114 -111 -111-112.5-115.5 -118.5 -124 -148M(db) 0 0.68 1 1.05 0 1.1 -2.1 -3.3 -4 -5.5 -19.3令 或 秒5-29 已知控制系统结构图如图5-84所示。当输入时，系统的稳态输出 。试确定系统的参数。解 系统闭环传递函数为 令 联立求解可得 ，。采用串联迟后校正。试探，使取 取 取 取 过作，使；过画水平线定出；过作-20dB/dec线交0dB线于。可以定出校正装置的传递函数 校正后系统开环传递函数 验算： 5-35 设单位反馈系统的开环传递函数为 （1）若要求校正后系统的相角裕度为30，幅值裕度为1012(dB)，试设计串联超前校正装置； （2）若要求校正后系统的相角裕度为50，幅值裕度为3040(dB)，试设计串联迟后校正装置。 解 (1) 依题作图未校正系统的对数幅频特性曲线如图解5-35(a)所示校正前： , (系统不稳定） 超前校正后截止频率大于原系统，而原系统在之后相角下降很快，用一级超前网络无法满足要求。(2) 设计迟后校正装置 经试算在处有 取 对应 在 以下24.436dB画水平线，左延10dec到对应=处,作线交0dB线到E：，因此可得出迟后校正装置传递函数： 试算： 由Bode图： 幅值裕度h不满足要求。为增加，应将高频段压低。重新设计：使滞后环节高频段幅值衰减40dB()。求对应处的 查惯性环节表,在处： 以交0dB线于E：（），得出滞后校正装置传递函数： 在处: 验算： （满足要求）因此确定： 5-36 设单位反馈系统的开环传递函数 要求校正后系统的静态速度误差系数v5(rad/s)，截止频率c2(rad/s)，相角裕度45，试设计串联校正装置。解 在以后，系统相角下降很快，难以用超前校正补偿；迟后校正也不能奏效，故采用迟后-超前校正方式。根据题目要求，取 ， 原系统相角裕度 最大超前角 查教材图5-65(b) 得： ， 过作，使；过作20dB/dec线并且左右延伸各3倍频程，定出、，进而确定、点。各点对应的频率为： 有 验算： 5-37 已知一单位反馈控制系统，其被控对象G0(s)和串联校正装置Gc(s)的对数幅频特性分别如图5-86 (a)、(b)和(c)中和所示。要求： （1）写出校正后各系统的开环传递函数； （2）分析各对系统的作用，并比较其优缺点。解 (a) 未校正系统开环传递函数为 采用迟后校正后 画出校正后系统的开环对数幅频特性如图解5-37(a)所示。有 ， 可见 (b) 未校正系统频率指标同(a)。采用超前校正后画出校正后系统的开环对数幅频特性如图解5-37(b)所示。可见 (c) 校正前系统的开环传递函数为 画出校正后系统的开环对数幅频特性，可见采用串联滞后超前校正后 5-38 设单位反馈系统的开环传递函数 （1）如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超调量=20，试确定值； （2）根据所求得的值，求出系统在单位阶跃输入作用下的调节时间，以及静态速度误差系数； （3）设计一串联校正装置，使系统的，17，减小到校正前系统调节时间的一半以内。 (1) 由式(5-81): （1）由(6-8), （2）又 （3）式(2)、(3)联立： 解出： , (舍去） 开环增益 (2) 依式(5-82)： 依题有： (3) 依题要求 由第(2)步设计结果 对应于。由频域时域的反比关系（一定时），应取: 作出的原系统开环对数幅频特性曲线如图解5-38所示： （系统不稳定）在处，原系统相角储备：需采用迟后超前校正方法。超前部分需提供超前角查课本图5-65(b),对应超前部分应满足：在处定出使，过作+20dB/dec直线（D、E相距10倍频，C位于D、E的中点），交出D、E，得定F点使,过F作-20dB/dec斜率直线交频率轴于G，得 验算： 查图5-61 （符合要求） 得出满足要求的串联校正装置传递函数： 5-39 图5-87为三种推荐的串联校正网络的对数幅频特性，它们均由最小相角环节组成。若原控制系统为单位反馈系统，其开环传递函数 试问： （1）这些校正网络中，哪一种可使校正后系统的稳定程度最好？ （2）为了将12Hz的正弦噪声削弱左右，你确定采用哪种校正网络？解 （1）(a) 采用迟后校正时，校正装置的传递函数为 校正后系统开环传递函数为 画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线所示：截止频率 相角裕度 （系统不稳定）(b) 采用超前校正时，校正装置的传递函数为 校正后系统开环传递函数为 画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线所示：截止频率 相角裕度 (c) 采用迟后-超前校正时，校正装置的传递函数为 校正后系统开环传递函数为 画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线所示：截止频率 相角裕度 可见，采用迟后校正时系统不稳定；采用迟后-超前校正时稳定程度最好，但响应速度比超前校正差一些。（2）确定使12Hz正弦噪声削弱10倍左右的校正网络 时， 对于单位反馈系统，高频段的闭环幅频特性与开环幅频特性基本一致。从Bode图上看，在处，有 衰减倍数，可见，采用迟后-超前校正可以满足要求。5-40 某系统的开环对数幅频特性如图5-88所示，其中虚线表示校正前的，实线表示校正后的。要求（1） 确定所用的是何种串联校正方式，写出校正装置的传递函数；（2） 确定使校正后系统稳定的开环增益范围；（3） 当开环增益时，求校正后系统的相角裕度和幅值裕度。解（1）由系统校正前、后开环对数幅频特性曲线可得校正装置的对数幅频特性曲线如图解5-40所示。从而可得所用的是串联迟后-超前校正方式。（2）由图5-88中实线可写出校正后系统的开环传递函数 校正后系统闭环特征方程为 列劳思表110001101000K(11000-1000K)/110 K0所以有 。 （3）当时，由图5-88可看出所以有 113
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