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圆锥曲线解答题解答题1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.2.（2009全国卷理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线与圆相交于、四个点。 （I）求得取值范围； （II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得（）抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则 令，则 下面求的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。下面来处理点的坐标。设点的坐标为：由三点共线，则得。以下略。3.（2009浙江理）（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为 （I）求椭圆的方程； （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为， （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则， 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为14.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为 （I）求与的值； （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点若是的切线，求的最小值解析（）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得（）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。则，当 则。联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为 ，联立方程整理得：，即： ，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：MN是抛物线的切线， 整理得，解得（舍去），或，5.（2009北京文）（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；（）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为， 由得（判别式）, ,点在圆上，.6.（2009北京理）（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且，. 的大小为.【解法2】（）同解法1.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为.（且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）.7.（2009江苏卷）（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。【解析】 必做题本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。 8.(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.9. (2009山东卷文)（本小题满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因为,所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 19.【解析】解法一：()当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得BOT=60或120.(1)当BOT=60时, SAE=30.又AB=2,故在SAE中,有 (2)当BOT=120时,同理可求得点S的坐标为,综上, ()假设存在,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为.由设点故,从而.亦即由得由,可得即经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.解法二:()同解法一.()假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且K0,可设直线AS的方程为由设点,则有故由所直线SM的方程为O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.故存在,使得O,M,S三点共线.23.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 (22)解：（）由题意，c1,可设椭圆方程为。 因为A在椭圆上，所以，解得3，（舍去）。所以椭圆方程为 4分（）设直线方程：得，代入得 设（，），（，）因为点（1，）在椭圆上，所以， 。8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得， 。所以直线EF的斜率。即直线EF的斜率为定值，其值为。 12分24.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）。（3） 求椭圆C的方程； （4） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 4分（）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 12分25.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解:()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得， 所以椭圆的标准方程为 （）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时。化简得 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；26.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。 （I） 求双曲线C的方程；(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。解析：解法1（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，所以所以由所以曲线的方程是（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为设由将P点的坐标代入因为又所以记则由又S（1）=2，当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值所以面积范围是解答2（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，由所以曲线的方程是.（）设直线AB的方程为由题意知由由将P点的坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）=以下同解答127.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（I）求双曲线C的方程； (II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。 28（本小题满分14分）已知双曲线C的方程为 离心率顶点到渐近线的距离为（）求双曲线C的方程；（）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求AOB面积的取值范围.解答一（）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线由 得 双曲线C的方程为（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为设 由得P点的坐标为将P点坐标代入化简得设AOB又记由当时，AOB的面积取得最小值2，当时，AOB的面积取得最大值AOB面积的取值范围是解答二（）同解答一 （）设直线AB的方程为由题意知 由 得A点的坐标为 由 得B点的坐标为 由得P点的坐标为 将P点坐标代入设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）. = 以下同解答一.29.（2009四川卷文）（本小题满分12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。【解析】（I）由已知得，解得 所求椭圆的方程为 4分（II）由（I）得、若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得设、， ，这与已知相矛盾。若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设、，联立，消元得 ， ， 又 化简得解得 所求直线的方程为 12分30.（2009全国卷文）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（）求r的取值范围（）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解：（）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得（1）抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根即。解这个方程组得.（II） 设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则 令，则 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。法2：设四个交点的坐标分别为、则直线AC、BD的方程分别为解得点P的坐标为。设，由及（）得 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积则将，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）当时，；当时；当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。 31.（2009湖北卷文）（本小题满分13分）如图，过抛物线y22PX(P0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1 ()求证：FM1FN1:()记FMM1、FM1N1、FN N1的面积分别为S1、S2、，S3，试判断S224S1S3是否成立，并证明你的结论。 本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）（1） 证法1：由抛物线的定义得 2分如图，设准线l与x的交点为 而即故证法2：依题意，焦点为准线l的方程为设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有由 得于是，故（）成立，证明如下：证法1：设，则由抛物线的定义得，于是 将与代入上式化简可得 ，此式恒成立。故成立。证法2：如图，设直线M的倾角为，则由抛物线的定义得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的结论，得即，得证。32.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（I） 求椭圆的方程（II） 若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（20）解：（）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 解得a=4,c=3, 所以椭圆C的方程为 （）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故 由点P在椭圆C上得 代入式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. 33.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 （）求点P的轨迹C； （）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解（）设点P的坐标为（x，y），则3x-2由题设 当x2时，由得 化简得 当时 由得 化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由知. 当点P在上时，由知 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为（i）当k，或k，即k-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由知MF= 6 - NF= 6 - 从而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因为当 当且仅当时，等号成立。（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则知， 设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以。而点A，E都在上，且 有（1）知 若直线的斜率不存在，则=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为35.（2009天津卷理）（本小题满分14分） 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1） 求椭圆的离心率； （2） 求直线AB的斜率； （3） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分（I） 解：由/且，得，从而 整理，得，故离心率 （II） 解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为，即. 由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 联立解得， 将代入中，解得.(III)解法一：由（II）可知 当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ， 由解得故当时，同理可得. 解法二：由（II）可知当时，得,由已知得 由椭圆的对称性可知B，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形. 由直线的方程为,知点H的坐标为.因为，所以，解得m=c（舍），或.则，所以. 当时同理可得 36.（2009四川卷理）（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。 解：（）有条件有，解得。 。 所以，所求椭圆的方程为。4分（）由（）知、。 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1. 将x=-1代入椭圆方程得。 不妨设、， . ,与题设矛盾。 直线l的斜率存在。 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。设、，联立，消y得。由根与系数的关系知，从而，又，。 。化简得解得 37.（2009福建卷文）（本小题满分14分）已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。 （I）求椭圆的方程； （）求线段MN的长度的最小值； （）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由解法一：（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而 即又由得故又 当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值（）由（）可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或 38.（2009年上海卷理）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。 已知双曲线设过点的直线l的方向向量 （1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。解：（1）双曲线C的渐近线直线l的方程.6分 直线l与m的距离.8分 （2）设过原点且平行与l的直线则直线l与b的距离当 又双曲线C的渐近线为 双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线右支上的任意点到直线的距离为。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。 证法二 双曲线的右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得， 设 当，0.13分将 代入（2）得 （*）方程（*）不存在正根，即假设不成立 故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为.16分39.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。（1） 求双曲线C的方程； （2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；（3） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.【解】（1）设双曲线的方程为 ，解额双曲线的方程为（2）直线，直线由题意，得，解得（3）【证法一】设过原点且平行于的直线则直线与的距离当时， 又双曲线的渐近线为 双曲线的右支在直线的右下方， 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为【证法二】假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得设，当时，；将代入（2）得， 方程不存在正根，即假设不成立，故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为 40.（2009重庆卷理）（本小题满分12分，（）问5分，（）问7分）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点（）若的坐标分别是，求的最大值；（）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，求线段的中点的轨迹方程； (20)（本小题12分）解：（）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a b 0 ）. 设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 . 又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以, 从而，当且仅当，即点M的坐标为时上式取等号，的最大值为4. （II）如图（20）图，设 .因为，故 因为 所以 . 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点所以 由因为 ，结合，得 故动点P的估计方程为41.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（）问5分，（）问7分）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率（）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； 解：（）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得 解得 从而，该双曲线的方程为；（）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故由方程组 解得 所以点的坐标为； - 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