2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型2 解答题 规范踩点 多得分 第4讲 立体几何 第2课时 空间距离与几何体中体积、面积的计算练习 文

第2课时空间距离与几何体中体积、面积的计算考情分析空间距离和几何体体积(面积)问题是每年高考的必考内容，并且多在解答题的第二、三问中出现，难度适中，为中档题.热点题型分析热点1空间距离的计算点面距离常用以下两种方法求解：一是直接做出垂线段求解；二是利用三棱锥体积转换，求点到面的距离 (2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离解(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB，因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知OPOB.由OPOB，OPAC，ACOBO，知PO平面ABC.(2)作CHOM，垂足为H.又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45.所以由余弦定理，得OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.诚如上文所说，求点面距问题可以采用等积转换求解，除此之外个别问题也可采用垂面法(利用面面垂直性质定理)和等价转移法(利用线面平行)求解当然，一些求几何体体积问题，也是对点面距问题的相应考查如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，四边形BFED为矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.(1)求证：AD平面BFED；(2)已知点P在线段EF上，且2，求D到面APE的距离解(1)证明：在梯形ABCD中，因为ABCD，ADDCCB1，BCD120，所以DABCBA60，AB2，所以由余弦定理得BD.因此AB2AD2BD2，所以ADBD.又因为平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，AD平面ABCD，所以AD平面BFED.(2)由(1)知，AD平面BFED，所以ADEP，ADED.又因为EPED，所以EP平面ADE.BD，BF1，2，所以EP，设D到面PEA的距离为d，因为VAEDPVDAEP，即ADSEDPdSAEP，所以d.热点2几何体体积(面积)的计算空间几何体体积的常用公式：(1)V柱Sh(S为底面面积，h为体高)；(2)V锥Sh(S为底面面积，h为体高)；(3)V台(SS)h(S，S分别为上，下底面面积，h为体高)(不要求记忆)(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积解(1)证明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318.1直接法：求一些规则几何体的体积时，可以根据几何体的特点，利用线面垂直、面面垂直等条件，确定几何体的高，再根据体积公式直接求解；2等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可以当做底面，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解；3割补法：割补法是处理立体几何问题的一种基本方法，解题思路是以已知几何体为背景，将其补成或分割成熟悉的、更易利用已知条件解决的简单几何体(2019广州模拟)如图，直角梯形ABEF中，ABEBAF90，C，D分别是BE，AF上的点，且DAABBCa，DF2CE2a.沿CD将四边形CDFE翻折至四边形CDPQ的位置，连接AP，BP，BQ，得到多面体ABCDPQ，且APa.(1)求多面体ABCDPQ的体积；(2)求证：平面PBQ平面PBD.解(1)DAABBCa，ABCBAD90，四边形ABCD是正方形，CDAD，CDDP.又ADDPD，AD，DP平面ADP，CD平面ADP.ABCD，AB平面ADP，AD2DP2AP2，ADDP，又CDAD，CDDPD，CD，DP平面CDPQ，AD平面CDPQ，又ADBC，BC平面CDPQ.VBCDPQS梯形CDPQBCaa3，VBADPSADPABa2aa，多面体ABCDPQ的体积为VBCDPQVBADP.(2)证明：取BP的中点G，连接GQ，DG，DQ，在ABP中，BP2a，BGBPa，在BCQ中，BQa.PQa，PQBQ，GQBP.QGa，又BDAB2aDP，DGBP，DGa，又DQa，DQ2QG2DG2，QGDG.又BPDGG，BP，DG平面PBD，QG平面PBD，又QG平面PBQ，平面PBQ平面PBD.专题作业1(2019河南六市三模)已知在空间几何体ABCDE中，BCD与CDE均是边长为2的等边三角形，ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥EABC的体积解(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC，AH平面BCD，同理可证EN平面BCD，ENAH，EN平面ABC，AH平面ABC，EN平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，MNBC，MN平面ABC，BC平面ABC，MN平面ABC.又MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN，平面EMN平面ABC，又EF平面EMN，EF平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NGDH，由(1)可知EN平面ABC，点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又BCD是边长为2的等边三角形，DHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，DH平面ABC，NG平面ABC，易知DH，NG，又SABCBCAH22，VEABCSABCNG.2.已知四棱锥SABCD的底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，AB2BC2CD2，SAD为正三角形(1)点M为线段AB上一点，若BC平面SDM，求实数的值；(2)若BCSD，求点B到平面SAD的距离解(1)因为BC平面SDM，BC平面ABCD，平面SDM平面ABCDDM，所以BCDM.又ABDC，所以四边形BCDM为平行四边形，所以CDMB，又AB2CD，所以M为AB的中点因为A，所以.(2)因为BCSD，BCCD，所以BC平面SCD，又BC平面ABCD，所以平面SCD平面ABCD.如图，在平面SCD内过点S作SE垂直CD交CD的延长线于点E，连接AE，又平面SCD平面ABCDCD，所以SE平面ABCD，所以SECE，SEAE，在RtSEA和RtSED中，AE，DE，因为SASD，所以AEDE，又易知EDA45，所以AEED，由已知求得SAAD，所以AEEDSE1.连接BD，则V三棱锥SABD211，又V三棱锥BASDV三棱锥SABD，SSAD，所以点B到平面SAD的距离为.3(2019河南洛阳统一考试)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是平行四边形，A1A平面ABCD，BAD60，AB2，BC1，AA1，E为A1B1的中点(1)求证：平面A1BD平面A1AD；(2)求多面体A1EABCD的体积解(1)证明：在ABD中，BAD60，AB2，ADBC1，由余弦定理得BD，BD2AD2AB2.BDAD.A1A平面ABCD，BD平面ABCD，A1ABD.又A1AADA，BD平面A1AD.又BD平面A1BD，平面A1BD平面A1AD.(2)设AB，CD的中点分别为F，G，连接EF，FG，GE，BDFGH.E，F，G分别为A1B1，AB，CD的中点，多面体EFGA1AD为三棱柱BD平面A1AD，DH为三棱柱的高又SA1ADADA1A，DHBD，三棱柱EFGA1AD的体积为SA1ADHD.在四棱锥EBCGF中，EFA1A，EF底面BCGF，EFA1A.S四边形BCGFS四边形ABCD21sin60，四棱锥EBCGF的体积为S四边形BCGFEF，多面体A1EABCD的体积为.- 9 -