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第81讲极坐标系1在极坐标系中，已知三点M(2，)，N(2,0)，P(2，)(1)将M，N，P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M，N，P三点是否在一条直线上 (1)由公式得M，N，P的直角坐标分别为M(1，)，N(2,0)，P(3，)(2)因为kMN，kNP，所以kMNkNP，所以M，N，P三点在一条直线上2在极坐标系中，画出下列方程表示的图形(1)(3)()0(0)；(2)5cos 5sin . (1)表示圆心在极点，半径为3的圆和射线组成的图形(如图(1)(2)将方程化为直角坐标方程x2y25x5y，即(x)2(y)225，圆心为(，)，化为极坐标为(5，)，即方程表示圆心为(5，)，半径为5的圆图形如图(2)所示(1)(2)3(2018广东七校联考)已知曲线C的方程为(x2)2(y1)25，以直角坐标系原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：，l2：，若l 1 、l2与曲线C相交于异于原点的两点 A、B，求AOB的面积 (1)曲线C的方程为(x2)2(y1)25.将代入并化简得：4cos 2sin .即曲线C的极坐标方程为4cos 2sin .(2)在极坐标系中，C：4cos 2sin ，所以由得|OA|21，同理|OB|2.又因为AOB，所以SAOBsin AOB. 即AOB的面积为.4(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程 (1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2. 5(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组又0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.6(2017山西太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2：x2y22y0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：(0)与曲线C1，C2分别交于A，B(均异于原点O)(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0时，求|OA|2|OB|2的取值范围 (1)C1的普通方程为y21，C1的极坐标方程为2cos222sin220，C2的极坐标方程为2sin .(2)联立(0)与C1的极坐标方程得|OA|2，联立(0)与C2的极坐标方程得|OB|24sin2.则|OA|2|OB|24sin24(1sin2)4.令t1sin2，因为0，所以t(1,2)所以|OA|2|OB|24t4，t(1,2)，设f(t)4t4，t(1,2)，易知f(t)在(1,2)上单调递增，所以|OA|2|OB|2(2,5)4
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