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小题专项训练8立体几何一、选择题1若直线a平面，直线b直线a，点Ab且A，则b与的位置关系是()AbABb CbDb或b 【答案】B【解析】由a，bab或b.又b过内一点，故b.2(2019年陕西模拟)已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是m(2，1,2)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)【答案】A【解析】记P(x，y，z)，则(x1，y1，z2)，当，即m2(x1)(y1)2(z2)0，即2xy2z7时，点P(x，y，z)在平面内，验证知只有A满足故选A3设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“ab”是“ ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，bm，得b.又直线a在平面内，所以ab；但直线a，m不一定相交，所以“ab”是“ ”的必要不充分条件故选B4(2019年江苏宿迁期末)如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为h.若在容器内放入一个半径为1的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心O(水没有溢出)，则h的值为()ABCD【答案】D【解析】作ODAC，垂足为D，则球的半径rOD1，此时OA2r2，倒圆锥的底面半径OC2tan 30.放入小球之前，水深为h.，则底面半径为htan 30h.由题意得2h2213，解得h.故选D5如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为16，则圆柱的体积为()A2BC6D8【答案】C【解析】设球的半径为R，则4R216，解得R2.设圆锥的高O1AO2Bx，底面圆半径O1CO2Dy，则圆锥的母线长AC，圆柱的高为42x.由圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，得2y(42x)2y，则y23x216x16.在RtOO1C中，可得(2x)2y24，解得(舍去)或所以圆柱的体积为Vy2(42x)6.故选C6(2018年广东珠海一模)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，ADBC，AA13，ABBCCD，BCD120，则直线A1B与B1C所成的角的余弦值为()ABC D【答案】A【解析】以A为原点，在平面ABCD中，过点A的AD的垂线为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,3)，B，B1，C，(0，3)设直线A1B与B1C所成的角为，则cos .故选A7已知ABCD为空间四边形，ABCD，ADBC，ABAD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()AAC，BD之一垂直BAC，BD都垂直CAC，BD都不垂直DAC，BD不一定垂直【答案】B【解析】ADBC，ABCD，BDBD，ABDCDB.连接AN，CN，MN，则ANCN.在等腰ANC中，M为AC的中点，MNAC.同理可得MNBD.故选B8(2018年福建福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点则其中真命题的个数是()A1B2C3 D4【答案】C【解析】对于，若存在平面，使得b，则有ba，而直线a，b未必垂直，不正确；对于，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面，此时平面与直线a，b均平行，正确；对于，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面，此时平面与直线a平行，且b，正确；对于，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，正确综上，正确故选C9已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()ABCD【答案】A【解析】如图，建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，0)设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，则可取n(3，2)又(2,0,0)，所以当为AB与平面SBC所成的角时，sin |cos，n|.10(2019年江西模拟)如图所示，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为() A183B63C69D1034【答案】B【解析】在平面A1B1C1D1中，双向延长EF，分别与A1D1，A1B1的延长线交于点P，Q，连接AP交DD1于点M，连接AQ交BB1于点N，则过A，E，F三点该正方体的截面为五边形AMEFN.易得D1PB1QAD2，则DMBN4，D1MB1N2，所以AMAN2，MENF，EF3.所以截面的周长为63.故选B11已知球O1和球O2的半径分别为1和2，且球心距为.若两球体的表面相交得到一个圆，则该圆的面积为()A2BCD【答案】C【解析】作出两球面相交的一个截面图如图所示，AB为相交圆的直径由条件知O1A1，O2A2，O1O2，AO1O2为直角三角形由三角形面积公式，得AC，所求圆的面积为2.12(2018年河北唐山模拟)设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心，球O的表面积为100，且ABC是边长为4的正三角形，则三棱锥OABC的体积为()A12B24C24D12【答案】D【解析】球O的表面积为1004r2，球O的半径为5.如图，取ABC的中心H，连接OH，连接AH并延长交BC于点M，则AM6，AHAM4，OH3，三棱锥OABC的体积为V(4)2312.二、填空题13设一正方体外接球的体积为V1，内切球的体积为V2，则_.【答案】3【解析】设正方体的边长为1，则外接球半径r1，内切球半径r2，所以3.14已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.当满足条件_时，有m.(填所选条件的序号)【答案】【解析】根据面面平行的性质定理得，当m，时，m，故满足条件时，有m.15(2018年辽宁沈阳三模)如图，将一块边长为10 cm的正方形铁片裁下四个全等的等腰三角形(阴影部分)把余下的部分沿虚线折叠后围成一个正四棱锥，若被裁下阴影部分的总面积为20 cm2，则正四棱锥的体积为_cm3.【答案】【解析】如图，设所截等腰三角形的底边边长为x cm，由45x20，解得x2.所得四棱锥的底面边长为4，四棱锥的斜高EF3，四棱锥的高为OE，所以该容器的体积V(4)2.16(2018年甘肃天水一模)四棱锥PABCD的三视图如图，且四棱锥PABCD的五个顶点都在同一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为_【答案】12【解析】将三视图还原为直观图如图中四棱锥PABCD，可得四棱锥PABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF的中点为G，连接OG，OA，AG.直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，AGa，得a2.在RtOGA中，OGa1，AG，则AO，即外接球半径R，所求外接球的表面积为4R212.- 7 -
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