2020届高考数学二轮复习 每日一题 规范练（第五周）理

每日一题规范练(第五周)题目1 已知Sn为等比数列an的前n项和，公比q2，且S23，等差数列bn满足b2a3，b3b5.(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn是数列bn的前n项和，求Tn的最大值解：(1)因为等比数列an满足公比q2，前2项和S23，所以S2a1a2a12a13，解得a11，所以ana1qn12n1.(2)由题及(1)知，b2a34.因为b3b50，所以b40，则数列bn的公差d20，故当n3或4时，Tn取得最大值，此时T3T4b1b2b33b212.题目2 如图，在四边形ABCD中，ADB45，BAD105，AD，BC2，AC3.(1)求边AB的长及cos ABC的值；(2)若记ABC，求sin的值解：(1)在ABD中，ABD180(45105)30，由，得AB.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos ABC，所以3232222cos ABC，所以cos ABC.(2)由(1)知cos ，所以sin ，sin 2，cos 2 .所以sinsin 2cos cos 2sin .题目3 (2019长沙雅礼中学检测)某公司为评估两套促销活动方案(方案1的运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案)，运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示(1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)；(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价xi(单元：元/件，整数)和销售yi(单位：件)(i1，2，8)如下表所示：售价3335373941434547销量840800740695640580525460请根据下列数据计算相应的相关指数R2，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；根据所选回归模型，分析售价x定为多少时？利润z可以达到最大项目1 200ln x5 00027x1 700x21 20052 446.9513 142122.89124 650附：相关指数R21.解：(1)由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2.(2)由已知数据可知，回归模型1 200ln x5 000对应的相关指数R0.579 2；回归模型27x1 700对应的相关指数R0.894 6；回归模型x21 200对应的相关指数R0.999 0.因为RRR，所以采用回归模型x21 200进行拟合最为合适由(1)可知，采用方案1的运作效果比方案2好，故利润z(x15)，z(x30)(x40)，当x(0，40)时，z0，z(x15)单调递增；当x(40，)时，z0，z(x15)单调递减，故当售价x40时，利润z达到最大题目4 如图，四边形ABCD是菱形，EA平面ABCD，EFAC，CF平面BDE，G是AB中点(1)求证：EG平面BCF；(2)若AEAB，BAD60，求二面角A-BE-D的余弦值(1)证明：设ACBDO，连接EO，OG.因为G是AB中点，O是AC，BD的中点，所以OGBC.又OG平面BCF，知OG平面BCF.因为CF平面BDE，且平面BDE平面ACFEEO，所以EOCF.由EO平面BCF，知EO平面BCF.又EOOGO，所以平面EOG平面BCF.又EG平面EOG，故EG平面BCF.(2)解：由(1)知EOCF，AOOC，又EFAC，所以EFOA.则四边形AOFE为平行四边形，所以AEFO.又EA底面ABCD，ACBD，则OA，OB，OF两两垂直如图建立空间直角坐标系O-xyz，设AEAB2，又因为BAD60，所以DGAB，OA，OB1，则E(，0，2)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，G，所以(0，2，0)，(，1，2)设平面BDE的法向量n(x，y，z)，得可取n(2，0，)因为EADG，EAABA，所以DG平面EAB，所以平面EAB的法向量可取.所以cosn，.所以二面角A-BE-D的余弦值为.题目5 已知函数f(x)ax2ex1.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为e，求a的值；(2)求证：当x0时，f(x)0.(1)解：由函数f(x)ax2ex1，可得f(x)ex2ax.因为曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为e，所以f(1)e2ae，所以a0.(2)证明：由(1)知，f(x)ex2ax.令h(x)f(x)，则h(x)ex2a.当0a时，h(x)0，函数h(x)f(x)在(0，)上单调递增所以f(x)f(0)1，f(x)在(0，)上单调递增因此f(x)f(0)0，满足题意当a时，令h(x)ex2a0，解得xln 2a.当x(0，ln 2a)时，h(x)0，f(x)h(x)单调递减；当x(ln 2a，)时，h(x)0，f(x)h(x)单调递增所以f(x)minf(ln 2a)eln 2a2aln 2a2a(1ln 2a)因为a，所以1ln 2a0，所以f(x)min0，所以f(x)在(0，)上单调递增，故f(x)f(0)0，满足题意综上，当x0时，f(x)0.题目6 设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b，0)，且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于Q.若sin AOQ(O为原点)，求k的值解：(1)设椭圆的焦点为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得，|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)由已知，y1y20.故|PQ|sin AOQy1y2.又因为|AQ|，而OAB，故|AQ|y2.由sin AOQ，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1.易知直线AB的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.代入5y19y2，可得5(k1)3，将等式两边平方，整理得56k250k110，解之得k或k.故实数k的值为或.题目7 1.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为2cos.(1)求圆C1的普通方程和圆C2的直角坐标方程；(2)判断圆C1与圆C2的位置关系解：(1)由圆C1的参数方程(为参数)，得圆C1的普通方程为x2(y2)24.由圆C2的极坐标方程2cos，可得22cos 2sin ，转换为圆C2的直角坐标方程为x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.(2)由(1)知，圆C1的半径r12，圆心坐标为(0，2)，圆C2的半径r2，圆心坐标为(1，1)，所以圆心距d，所以r1r22，r1r22，所以圆C1与C2相交2选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x2|x1|.(1)若关于x的不等式f(x)a有解，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)x22x.解：(1)f(x)|x2|x1|故f(x)的值域为3，3，所以f(x)的最大值是3，若f(x)a成立有解，则有af(x)max，即a3，所以a的取值范围是(，3)(2)当x1时，x22x3，得x1；当1x2时，x22x2x1，得1x2；当x2时，x22x3，得x2.综上，不等式的解集为(，1)(1，)- 7 -