2020版高考数学一轮复习 课后限时集训22 正弦定理和余弦定理（含解析）理

课后限时集训(二十二)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是( )A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.2在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是( )A有一解 B有两解C无解 D有解但解的个数不确定C由正弦定理得，sin B1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在3(2016天津高考)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC( )A1 B2 C3 D4A由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)故选A.4(2019长春模拟)ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于( )A. B.C.或 D.或D由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B，即13BC23BC，解得BC1或BC2，当BC1时，ABC的面积SABBCsin B1.当BC2时，ABC的面积SABBCsin B2.总上之，ABC的面积等于或.5(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A( )A. B. C. D.D过A作ADBC于D，设BCa，由已知得AD.B，ADBD，BDAD，DCa，ACa，在ABC中，由正弦定理得，sin BAC，故选D.二、填空题6设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_.4由3sin A2sin B及正弦定理，得3a2b，所以ba3.由余弦定理cos C，得，解得c4.7(2019青岛模拟)如图所示，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_sinBACsin(90BAD)cosBAD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcosBAD，BD21892333，BD.8设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sin C4sin A，(cacb)(sin Asin B)sin C(2c2)，则ABC的面积为_由a2sin C4sin A得ac4，由(cacb)(sin Asin B)sin C(2c2)得(ab)(ab)2c2，即a2c2b22，所以cos B，则sin B，所以SABCacsin B.三、解答题9已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.所以ABC的面积为1.10(2019郑州模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A(2ca)cos(B)(1)求角B的大小；(2)若b4，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)bcos A(2ca)cos(B)，bcos A(2ca)(cos B)由正弦定理可得，sin Bcos A(2sin Csin A)cos B，即sin(AB)2sin Ccos Bsin C.又角C为ABC的内角，sin C0，cos B.又B(0，)，B.(2)由SABCacsin B，得ac4.又b2a2c2ac(ac)2ac16.ac2，ABC的周长为42.B组能力提升1(2019佛山模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b2，c2，且C，则ABC的面积为( )A.1 B.1 C4 D2A法一：由余弦定理可得(2)222a222acos，即a22a40，解得a或a(舍去)，ABC的面积Sabsin C2()sin2()1，选A.法二：由正弦定理，得sin B，又cb，且B(0，)，所以B，所以A，所以ABC的面积Sbcsin A22sin221.2在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高为( )A. B. C. D.B在ABC中，由余弦定理可得，AC2AB2BC22ABBCcos B，因为AC，BC2，B60，所以7AB244AB，所以AB22AB30，所以AB3，作ADBC，垂足为D，则在RtADB中，ADABsin 60，即BC边上的高为，故选B.3(2019宝鸡模拟)如图，在RtABC中，两条直角边分别为AB，BC，且AB2，BC2，P为ABC内一点，BPC90.若PB1，则PA_.依题意，在RtABC中，AC4，sinACB，所以ACB60.在RtPBC中，PC，sinPCB，PCB30，因此ACPACBPCB30.在ACP中，AP.4(2019贵阳模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,1.(1)求角A的大小；(2)若ABC为锐角三角形，求函数y2sin2B2sin Bcos C的取值范围；(3)现在给出下列三个条件：a1；2c(1)b0；B，试从中选择两个条件以确定ABC，求出所确定的ABC的面积解(1)因为1，所以由正弦定理，得1.因为ABC，所以sin(AB)sin C，所以，所以cos A，故A.(2)因为ABC，A，所以BC.所以y2sin2B2sin Bcos C1cos 2B2sin Bcos1cos 2Bsin Bcos Bsin2B1cos 2Bsin 2Bcos 2Bsin 2Bcos 2Bsin.又ABC为锐角三角形，所以B2B，所以sin1，所以ysin.(3)法一：选择，可确定ABC.因为A，a1,2c(1)b0，由余弦定理，得12b222bb，整理得b22，b，c，所以SABCbcsin A.法二：选择，可确定ABC.因为B，所以C.又sinsinsincoscossin，故由正弦定理得c，所以SABCacsin B1.- 7 -