江苏省普通高等学校2017届高三数学招生考试模拟测试试题十.docx

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：VSh，其中S为底面积，h为高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合Ax|x210，B1，2，5，则AB_2. 已知复数z(i是虚数单位)，则|z|_3. 书架上有3本数学书，2本物理书若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为_4. 运行如图所示的伪代码，其结果为_S1For I From 1 To 7 Step 2SSIEnd ForPrint S5. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为_6. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为_7. 已知实数x，y满足则目标函数zxy的最小值为_8. 若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_9. 在ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a5，A，cosB，则边c_10. 设Sn是等比数列an的前n项和，an0，若S62S35，则S9S6的最小值为_11. 如图，在ABC中，ABAC3，cosBAC，2，则的值为_12. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(4，0)的直线l与圆C：(x1)2y25相交于A、B两点若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为_13. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)2x，设g(x)若函数yg(x)t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是_14. 设函数y的图象上存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)设函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1) 求函数yf(x)的解析式；(2) 当x时，求f(x)的取值范围16.(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，ACB，M是棱BC的中点求证：(1) OM平面ABB1A1；(2) 平面ABC1平面A1BC.17. (本小题满分14分)如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16 km处，直线AB的南面为居民生活区为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)： 垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同； 垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30 t和50 t，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：y21上一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)2r2(r0)作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；(2) 若r. 求证：k1k2； 求OPOQ的最大值19. (本小题满分16分)已知函数f(x)的图象在x0处的切线方程为yx，其中e是自然对数的底数(1) 求实数a的值；(2) 若对任意的x(0，2)，都有f(x)成立，求实数k的取值范围；(3) 若函数g(x)lnf(x)b(bR)的两个零点为x1，x2，试判断g的正负，并说明理由20. (本小题满分16分)设数列an共有m(mN，m3)项，记该数列前i项a1，a2，ai中的最大项为Ai，该数列后mi 项ai1，ai2，am中的最小项为Bi，riAiBi(i1，2，3，m1)(1) 若数列an的通项公式为an2n，求数列ri的通项公式；(2) 若数列an是单调数列，且满足a11，ri2，求数列an的通项公式；(3) 试构造一个数列an，满足anbncn，其中bn是公差不为零的等差数列，cn是等比数列，使得对于任意给定的正整数m(mN，m3)，数列ri都是单调递增的，并说明理由(十)1. 1解析：由A1，1，B1，2，5，则AB1本题考查了集合交集的概念，属于容易题2. 解析：zi，|z|.本题主要考查复数的模的概念及除法运算等基础知识，属于容易题3. 解析：基本事件数共10种，取出的2本书都是数学书的事件有(数1，数2)，(数1，数3)，(数2，数3)，共3种，则取出的2本书都是数学书的概率为.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数本题属于容易题4. 17解析：由题设伪代码的循环体执行如下：S1135717.本题考查伪代码的基础知识，属于容易题5. 17解析：36018人，则从高三年级学生中抽取的人数为55201817.本题主要考查分层抽样的概念，属于容易题6. 解析：由题设知抛物线的方程为y22px，将P(1，3) 代入y22px，得p，即抛物线焦点到准线的距离为p，即为.本题主要考查抛物线的方程，以及p的几何意义，属于容易题7. 3解析：画出可行域发现zxy过点(1，4)时，zxy 取得最小值3.本题主要考查简单的线性规划问题本题属于容易题8. 2解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8，该正方体的棱长为2.本题主要考查简单的几何体的体积问题，属于容易题9. 7解析：由cosB，得sinB，则sinCsin(AB)，由正弦定理得，得c7.本题主要考查和差角公式，以及利用正弦定理解三角形本题属于中等题10. 20解析：an0，前n项和Sn0, S3，S6S3，S9S6成等比数列，则(S6S3)2S3(S9S6)，S9S6(S6S3)2/S3(S62S3S3)2/S3(5S3)2/S3(S10S325)/S3S3 25/S3 10，由均值不等式得：当且仅当S35时，S325/S3有最小值5510，此时S325/S3 10有最小值101020，则S9S6的最小值为20.本题主要考查等比数列的性质以及基本不等式本题属于中等题11. 2解析：由ABAC3，cosBAC，利用余弦定理得BC2，而由利用余弦定理知cosB，可得2.本题主要考查余弦定理和向量的数量积问题本题属于中等题12. x3y40解析：由设AB的中点为H，连接AC，HC，设HCy，AHx，则由勾股定理得：，得，所以tanHPC=，则k=，直线l过点P(4，0)，则直线l的方程为x3y40. 本题主要考查垂径定理，勾股定理，斜率与倾斜角的关系本题属于中等题13. 解析：f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)2x，由f(0)0，得m1，作出yg(x)的图象，再作直线yt，可以发现当t时，yg(x)的图象与直线yt有且只有一个交点，即函数yg(x)t有且只有一个零点，所以实数t的取值范围是.本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了利用导数求最值和恒成立问题本题属于难题14. 解析：不妨设点P在y轴左侧，Q在y轴右侧，P一定在yx3x2上 若Q在yx3x2上，设Q(x，x3x2)，则P(x，x3x2)，OPOQ，x2(x3x2)(x2x3)0，所以x4x210，无解 若Q在yalnx上，设Q(x，alnx)(xe)，则P(x，x3x2)，OPOQ，x2alnx(x3x2)0，化简得alnx(x1)1.因为a0，所以lnx(x1).设f(x)lnx(x1)(xe)，f(x)lnx1，xe时，f(x)0恒成立，f(x)单调递增，所以f(x)f(e)，即lnx(x1)e1，所以e1，即0a.本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了向量数量积处理垂直问题、利用导数求最值问题本题属于难题15. 解：(1) 由图象知，A2，(2分)又，0，所以T2，得1.(4分)所以f(x)2sin(x)，将点代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)又，所以.(6分)所以f(x)2sin.(8分)(2) 当x时，x，(10分)所以sin，即f(x)，2(14分)16. 证明：(1) 在A1BC中，因为O是A1C的中点，M是BC的中点，所以OMA1B.(4分)又OM 平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，所以OM平面ABB1A1.(6分)(2) 因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1底面ABC，所以CC1BC.又ACB，即BCAC，而CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.(8分)而AC1平面ACC1A1，所以BCAC1.又ACC1A1是正方形，所以A1CAC1.而BC，A1C平面A1BC，且BCA1CC，所以AC1平面A1BC.(12分)又AC1平面ABC1，所以平面ABC1平面A1BC.(14分)17. 解：(解法1)由条件，得.(2分)设PA5x，PB3x，则cosPAB，(6分)所以点P到直线AB的距离hPAsinPAB5x，(10分)所以当x234，即x时，h取得最大值15 km，即选址应满足PA5 km，PB3 km.(14分)(解法2) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(2分)则A(8，0)，B(8，0)由条件，得.(4分)设P(x，y)(y0)，则35，化简，得(x17)2y2152(y0)，(10分)即点P的轨迹是以点(17，0)为圆心，15为半径的位于x轴上方的半圆则当x17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15 km.所以点P的选址应满足在上述坐标系中且坐标为(17，15)(14分)18. (1) 解：因为椭圆C右焦点的坐标为(，0)，所以圆心M的坐标为，(2分)从而圆M的方程为(x)2.(4分)(2) 证明：因为圆M与直线OP：yk1x相切，所以，即(45x)k10 x0y0k145y0，(6分)同理，有(45x)k10 x0y0k245y0，所以k1，k2是方程(45x)k210 x0y0k45y0的两根，(8分)从而k1k2.(10分) 解：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，联立解得x，y，(12分)同理，x，y，所以OP2OQ2(14分)，当且仅当k1时取等号所以OPOQ的最大值为.(16分)19. 解：(1) 由题意得f(x)，因函数在x0处的切线方程为yx，所以f(0)1，得a1.(4分)(2) 由(1)知f(x)对任意x(0，2)都成立，所以k2xx20，即kx22x对任意x(0，2)都成立，从而k0.(6分)又不等式整理可得kx22x，令g(x)x22x，所以g(x)2(x1)(x1)0，得x1，(8分)当x(1，2)时，g(x)0，函数g(x)在(1，2)上单调递增，同理，函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以kg(x)ming(1)e1.综上所述，实数k的取值范围是0，e1)(10分)(3) 结论是g0.(11分)证明：由题意知函数g(x)lnxxb，所以g(x)1，易得函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以只需证明1即可(12分)因为x1，x2是函数g(x)的两个零点，所以相减得x2x1ln.不妨令t1，则x2tx1，则tx1x1lnt，所以x1lnt，x2lnt，即证lnt2，即证(t)lnt20.(14分)因为(t)0，所以(t)在(1，)上单调递增，所以(t)(1)0.综上所述，函数g(x)总满足g0，不满足ri2，所以an单调递增(6分)则Aiai，Biai1，所以riaiai12，即ai1ai2，1im1，所以an是公差为2的等差数列，an12(n1)2n1，1nm1.(10分)(3) 构造ann，其中bnn，cn.(12分)下证数列an满足题意证明：因为ann，所以数列an单调递增，所以Aiaii，Biai1i1，(14分)所以riaiai11，1im1.因为ri1ri0，所以数列ri单调递增，满足题意(16分)(说明：等差数列bn的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列cn的首项c1为负，公比q(0，1)，这样构造的数列an都满足题意)