全国初中数学竞赛试题及答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ） （A） （B） （C） （D）a1（乙）如果，那么的值为（ ）（A） （B） （C）2 （D）2（甲）如果正比例函数y = ax（a 0）与反比例函数y =（b 0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（3，2），那么另一个交点的坐标为（ ）（A）（2，3） （B）（3，2） （C）（2，3） （D）（3，2）2（乙） 在平面直角坐标系中，满足不等式x2y22x2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ） （A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A）1 （B） （C） （D）3（乙）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，ABC是等边三角形，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（ ）（A） （B）4 （C） （D）4.54（甲）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 85（甲）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）（A） （B） （C） （D）5（乙）黑板上写有共100个数字每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足，那么的值为 7（甲）如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则DMN的面积是 .7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若，则线段CE、BD的长度差是 。8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+k23k+= 0的两个实数根分别为，那么 的值为 8（乙）设为整数，且1n2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .9（乙）如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数若和均为三角形数，且abc，则的取值范围是 .10（甲）如图，四边形ABCD内接于O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BFEC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .10（乙）已知是偶数，且1100若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11（甲）已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于求的取值范围11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。12（甲）. 如图，O的直径为，过点，且与O内切于点为O上的点，与交于点，且点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：BOC12（乙）如图，O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是ABD的内心. 求证：（1）OI是IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.13（甲）. 已知整数a，b满足：ab是素数，且ab是完全平方数. 当2012时，求a的最小值.13（乙）给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）将，（n2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数 （可以相同），使得，求的最小值参考解答 一、选择题1(甲) .C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以 1（乙）B解：2（甲）D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）B解：由题设x2y22x2y， 得02.因为均为整数，所以有 解得 以上共计9对.3（甲）D 解：由题设知，所以这四个数据的平均数为，中位数为 ，于是 .3（乙）B解：如图，以CD为边作等边CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE，所以BCDACE， BD = AE.又因为，所以.在Rt中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得 (2y7)n = y+4， 2n =.因为为正整数，所以2y7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，74（乙）C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负由二次函数的图象知，当时，所以，即 . 由于都是正整数，所以，1q5；或 ，1q2，此时都有. 于是共有7组符合题意 5（甲）D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大5（乙）C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得 ，二、填空题6（甲）7x19解：前四次操作的结果分别为 3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487， 81x80487.解得 7x19.容易验证，当7x19时，487 487，故x的取值范围是7x196（乙）.7解：在两边乘以得即7（甲）8解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知，所以 ，由此得，所以.在RtABF中，因为，所以，于是 .由题设可知ADEBAF，所以 ， .于是 ， . 又，所以. 因为，所以.7（乙）. 解：如图，设的中点为，连接，则因为，所以，8（甲）解：根据题意，关于x的方程有=k240，由此得 (k3)20 又(k3)20，所以(k3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故=8（乙）.1610解：因此，所以，因此所以共有2012-402=1610个数9（甲）8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0b43. 又 ，所以. 于是 043，87130，由此得 ，或.当时，；当时，不合题设.故9（乙）.解：依题意得：，所以，代入（2）得，两边乘以a得，即，化简得，两边除以得 所以另一方面：abc，所以 综合得另解：可令，由（1）得，代入（2）化简得，解得，另一方面：abc，所以， 综合得10（甲）解：如图，连接AC，BD，OD. 由AB是O的直径知BCA =BDA = 90.依题设BFC = 90，四边形ABCD是O的内接四边形，所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ，因此 .因为OD是O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，ODBC， 于是 . 因此.由，知因为，所以 ，BA=AD ，故.10（乙）.12解：依题意得 由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即，当1100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对，则：，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的n有12个。三、解答题11（甲）解： 因为当时，恒有，所以，即，所以 （3分）当时，；当时，即，且 ，解得 （8分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得因为，所以，解得，或因此 （15分）11（乙）.解：因为sinABC =，所以AB = 10由勾股定理，得易知， 因此 CO = BO = 6 于是，设点D的坐标为由，得所以 ，解得 因此D为AB的中点，点 D的坐标为 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为ABC的重心，所以点E的坐标为（也可由直线CD交y轴于点E来求得.） 设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为将点E的坐标代入，解得a = 故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为12（甲） 证明：连接BD，因为为的直径，所以又因为，所以CBE是等腰三角形 （5分）设与交于点，连接OM，则又因为，所以 （10分）又因为分别是等腰，等腰的顶角，所以BOC （15分）12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等的性质知：，所以， CI = CD 同理，CI = CB 故点C是IBD的外心连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OIAC，即OICI 故OI是IBD外接圆的切线 （2）如图，过点I作IEAD于点E，设OC与BD交于点F由，知OCBD因为CBF =IAE，BC = CI = AI，所以所以BF = AE 又因为I是ABD的内心，所以故也可由托勒密定理得：，再将代入即得结论。13（甲）解：设ab = m（m是素数），ab = n2（n是自然数）. 因为 (a+b)24ab = (ab)2，所以 (2am)24n2 = m2， (2am+2n)(2am2n) = m2. （5分）（1）当时，因为2am+2n与2am2n都是正整数，且2am+2n2am2n (m为素数)，所以 2am+2nm 2，2am2n1.解得 a，. 于是 = am. （10分）又a2012，即2012.又因为m是素数，解得m89. 此时，a=2025.当时，.此时，a的最小值为2025. （2）当时，因为2012，所以，从而得a的最小值为2017（素数）。综上所述，所求的a的最小值为2017。（15分）13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150，则每个150内角的外角都等于30，而凸n边形的n个外角和为360，所以，只有当时，k才有最大值12. （5分）下面我们讨论时的情况： （1）当时，显然，k的值是11； （2）当时，k的值分别为1，2，3，4，5；（3）当时，k的值分别为7，8，9，10. （10分）综上所述，当时，凸n边形最多有个内角等于150；当时，凸n边形最多有个内角等于150；当时，凸n边形最多有12个内角等于150；当时，凸n边形最多有11个内角等于150。. （15分）14（甲）解：由于都是正整数，且，所以1，2，2012于是 （5分）当时，令，则 .（10分） 当时，其中，令 ，则 综上，满足条件的所有正整数n为 （15分）14（乙）.解：当时，把分成如下两个数组：和 在数组中，由于，所以其中不存在数，使得在数组中，由于，所以其中不存在数，使得 所以， 下面证明当时，满足题设条件不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立故不妨设在第二组 同理可设在第一组，在第二组 此时考虑数8如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时综上，满足题设条件所以，的最小值为（注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536）第- 15 -页 共15页