中考专题复习之正方形

1 中考专题复习之正方形 知识考点： 理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。 精典例题： 【例 1】如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 上的点，且 EFAC，在 DA 的延长线上取一点 G，使 AGAD，EG 与 DF 相交于点 H。求证：AHAD。 分析：因为 A 是 DG 的中点，故在DGH 中，若 AHAD ，当且仅当DGH 为直角三角形，所以只须证明 DGH 为直角三角形（证明略）。 评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本 题证明简单。 例 1图 H G F E D CB A 例 2图 Q PE D CB A 【例 2】如图，在正方形 ABCD 中，P、Q 分别是 BC、CD 上的点，若PAQ45 0，求证：PB DQ PQ。 分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。 变式：若条件改为 PQPBDQ，那么PAQ？你还能得到哪些结论？ 探索与创新： 【问题一】如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，过 A 作 AGEB 于 G，AG 交 BD 于点 F，则 OEOF，对上述命题，若点 E 在 AC 的延长线上，AGEB，交 EB 的延长线于点 G，AG 的延长线交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“OEOF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成 立，说明理由。 问 题 一 图 1 O F G E D CB A 问 题 一 图 2 O F G E D CB A 分析：对于图 1 通过全等三角形证明 OEOF ，这种证法是否能应用到图 2 的情境中去，从而作出正确的判断。 结论：（2）的结论“OEOF”仍然成立。 提示：只须证明AOFBOE 即可。 评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。 【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑行，直 角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q。 探究：设 A、P 两点间的距离为 。x （1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论； （2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；yx （3）当点 P 在线段 AC 上滑行时，PCQ 是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使PCQ 成为等腰 三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。x 2 D CB A D CB A D CB A 分析：（1）实验猜测：PQPB，再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。 略解：（1）如图 1，易证 BPPD，12，PQD 1800PQC PBC PDQ PBPDPQ 问 题 二 图 1 2 1 Q P D CB A x 问 题 二 图 2 Q P D CB A 问 题 二 图 3 NM Q P D CB A （2）如图 2，易证BOPPEQ QEPOAO AP x PCQBPCQSS四 边 形 )(21)(21ECPEBO 2)(1x （0 ）2xy （3）PCQ 可能成为等腰三角形。 当点 P 与点 A 重合时，点 Q 与点 D 重合，这时 PQQC，PCQ 是等腰三角形，此时 0；x 当点 Q 在边 DC 的延长线上，且 CPCQ 时，PCQ 是等腰三角形（如图 3）。此时，QNPM ，CN CP ，所以 CQQNCN ，当 时，解得 。x22x112x12x1 评注：本题是一道新颖别致的好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。 跟踪训练： 一、填空题： 1、给出下面三个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的矩 形是正方形。其中真命题是 （填序号）。 2、如图，将正方形 ABCD 的 BC 边延长到 E，使 CEAC，AE 与 CD 边相交于 F 点，那么 CEFC 。 3 第 2题 图 E F D CB A DCBA 第 3题 图 D C B A 3、如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 的位置，它们的重叠部分的面积是正方形D ABCD 面积的一半，若 AC ，则正方形移动的距离 是2A 。 4、四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，给出以下题设条件： ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO ，ACBD；ABBC ，CDDA。其中能 判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）。 二、选择题： 1、如图，把正方形 ABCD 的对角线 AC 分成 段，以每一段为对角线作正方形，设这 个小正方形的周长和为 ，nnp 正方形 ABCD 的周长为 ，则 与 的关系式是 。Sp A、 B、 C、 D、 与 无关SpSpSp 2、如图，在正方形 ABCD 中，DE EC，CDE60 0，则下列关系式： 1441；1311；（12）（34）53 中，正确的是（ ） A、 B、仅 C、仅和 D、仅和 第 1题 图 D CB A 第 2题 图 4 3 21 E D CB A 第 3题 图 F E D C BA 3、如图，正方形 ABCD 的面积为 256，点 F 在 AD 上，点 E 在 AB 的延长线上，RtCEF 的面积为 200，则 BE 的值 为（ ） A、10 B、11 C、12 D、15 4、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片，表中所列四种方案能拼成边长为 的正方形的是（ ）)(baba 数量（张） 卡片 方案 （1） （2） （3） A 1 1 2 B 1 1 1 4 C 1 2 1 D 2 1 1 三、解答题： 1、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，BD 与 CE 交于 F 点，求证：AFBE。 2、已知正方形 ABCD 中，M 是 AB 的中点，E 是 AB 延长线上一点，MNDM 且交CBE 的平分线于 N。 （1）求证：MDMN； （2）若将上述条件中的“M 是 AB 的中点”改为“M 是 AB 上任意一点”，其余条件不变，则结论 “MD MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。 第 1题 图 D CB A E F 第 2题 图 1 N M D C BA E 第 2题 图 2 N M D C BA E 3、如图，ABCD 是正方形，P 是对角线上的一点，引 PEBC 于 E，PFDC 于 F。求证：（1）AP EF；（2） AP EF。 第 3题 图 P F E A B C D 第 4题 图 F E A B CD 4、如图，过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BECA，作 AEAC，又 CFAE，求证：BCF AEB。21 跟踪训练参考答案 一、填空题： 1、；2、 ；3、 ；4、12 二、选择题：CDCA 三、解答题： 1、易证ABFCFB 和BAECDE，由ABFCFB AFBBFC FADDCE；由 BAECDE DCEABF。所以DAFEAB，故EHAEAB90 0，AFBE。 2、（1）如图 1，取 AD 中点 F，连结 MF，由 MNDM 得DAM90 0，易证12，又因 MNBNBE 245 02，DMFAFM145 01，所以DMFMNB，又因 DFBM，所以 DMF MNB，故 MD MN。 5 第 2题 图 1 2 1 N M D C BA E 第 2题 图 2 2 1 F N M D C BA E 第 3题 图 P F E A B C D H 3 2 1 （2）成立，如图 2，在 AD 上取 DFMB，则易知：1 90 0DMA ，又2DMA90 0，12， 又DMF 45 01，MNB45 02，DMFMNB，又 DFMB，DMFMNB，故 MDMN。 3、略证：延长 AP 与 EF 相交于点 H，连结 PC，因为 BD 是对角线，易证 PAPC，12，根据 PEBC 于 E，PFDC 于 F，知 PECF 为矩形，PC EF，且DAH FPH，又因为123，所以在PHF 中， FPH 34190 0，所以PHF 为直角三角形，故 APEF。 4、提示：证 AEFC 是菱形，过 A 点作 BE 的垂线构造 300 角的直角三角形。