常微分方程试卷及答案.doc

2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业填空题（每题4分，共20分）1. 形如 （连续）的方程是 一阶线性微分 方程，它的通解为 .2. 形如的方程是 3 阶_齐次_(“齐次”还是”非齐次”)_常_系数的微分方程,它的特征方程为.3. 形如的方程为 欧拉 方程, 可通过变换把它转化成常系数方程.4. 满足初始条件：=0, =1的特解55.微分方程的解存在且唯一的条件是: 在R上连续且满足利普希茨条件 一、 下列微分方程的解（每题5分，共30分）1=解：令x+y=u,则=-1 .3 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. .52解：两边同乘以得： .3故方程的通解为： .53解：令，则，两边对x求导，得 ， .3解之得 ，所以， .4且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. .54. 解：特征方程有三重根， .3故通解为 .55. 解：特征方程有根0,齐线性方程的通解为x= .3又因为0是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=，B= .4故通解为x= .56. 解: 原方程可化为 1分离变量可得 .3 两边积分可得 .4 将初值代入上式求得方程的解: .5二、 求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1求一曲线，使其任一点的切线在轴上的截距等于该切线的斜率.解： 设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为： .3由题意得 即 也即 两边同除以，得 .5即 .7即 .10为方程的解。2. 满足初值条件解:方程组的特征值, .2对应特征值的特征向量应满足 对任意常数, , 取, 得 .4对应特征值的特征向量应满足 对任意常数, , 取, 得 .6所以基解矩阵为: .8= .103.求方程 通过点 的第二次近似解.解: 令，于是 .5 .10五、应用题（10分）33. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：，又，由此 即 .5其中，解之得 又时，；时，。故得 ，从而方程可化为 .7当时，有 米/秒 .8即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。 .10六、证明题 （10分）1、试证: 非齐次线性微分方程组的叠加原理:即: 设分别是方程组的解，则是方程组的解.证明： （1） （2）分别将代入（1）和（2）则 .5则令 即证 .102010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 B卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业一、 填空题（每题4分，共20分）1. 是恰当方程的充要条件是；其通解可用曲线积分表示为 .3. 形如的方程是 2 阶 非齐次 (“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的特征方程的特征根为 .4. 若 是同一线性方程 的基解方阵，则它们间有关系 .55.微分方程的解存在且唯一的条件是: 在R上连续且满足利普希茨条件 二、下列微分方程的解（每题5分，共30分）1. 解： 令 .1则： 即 得到 故 即 .4 另外也是方程的解。 . .52. =解： y= () .3=-e()+c=c e- ()是原方程的解。 .53。 设 .3 .4 ， 解为 .54. 解：特征方程有复数根, .3故通解为 .55.解: 原方程可化为 故 .56. 解：特征方程有根-2,-4 .1故齐线性方程的通解为x= .3-2是特征方程的根，故代入原方程解得A= .4故通解为x= .5三、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1.解：特征方程有2重根-a.2当a=-1时，齐线性方程的通解为s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解为s=,.6当a-1时，齐线性方程的通解为s=,1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为s=+.102. 求其基解矩阵.解: det（EA）=0得， .3对应于的特征向量为u， （ 0 ）对应于的特征向量为v， （ ） .5u，v是对应于，的两个线性无关的特征向量(t)=是一个基解矩阵 .103. 求方程 通过点 的第二次近似解.解: 令，于是 .5 .10五、应用题（10分）1求一曲线，过点(1,1), 其任一点的切线在轴上的截距等于.解： 设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为： .3由题意得 两边同除以，得 .5即 .7即 .8将代入上式得。.10六、证明题 （10分）1、 试证：如果是=Ax满足初始条件的解，那么expA(t-t)证明：由于(t)-1(t0) (t) .5又因为(t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因为矩阵 （At）（- At0）=（- At0）（At） .7所以 expA(t-t) .1010