初中数学论文：中考数学“新定义”试题浅析.doc

中考数学“新定义”试题浅析随着新课改的深入，中考试题中考查学生的学习能力，促进学生发展的创新型试题不断地涌现。而“新定义”试题是创新型试题的主要表现之一，也是2009年中考数学试题中的一个热点。“新定义”试题具有新颖公平的问题背景，且与已学数学知识密切关联的知识基础，能有效考查学生的数学阅读理解能力和运用已学知识分析问题、解决问题的综合能力，在中考试题中有较好地效度。现举例说明如下：考点一：利用“新定义”构建数、式模型例1、（2009年绍兴市）李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段，对折后（点与重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段上的，均变成，变成1，等）那么在线段上（除，）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是_AB（例3图）解：在第一次操作后，原线段上的，均变成，变成1， 在第二次操作后，原线段上的，均变成1，点所对应的数之和是。【剖析】本题是一道PISA型试题，以学生已学的数轴和已有的生活经验为基础，对某种操作进行了新的定义。解答本题，关键是要读懂新定义中“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度。第一次操作后，在处为对折点，均匀拉长后变成1，原线段AB上的，均变成，这在题目中已有提示。第二次操作后，在线段处有两个数和为对折点，均匀拉长后这两个数都江堰市变为1，根据题意，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为和，这样马上可以得出结论。解：。本题是对学生的抽象概括、空间想象能力要求较高。例2、（2009年台州市）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式.下列三个代数式：；其中是完全对称式的是(A )A B C D解：由新定义“完全对称式”知，所以是完全对称式；若将、字母交换，则变为，=，是完全对称式；若将、字母交换，则变为，不是完全对称式。所以答案应选择为（A）【剖析】本题是以已学的整式的乘除、乘法公式为知识为基础，对代数式的变换进行了新的定义。解答本题，关键是要读懂新定义中数学的本质含义，在理解“新定义”的基础上，再进行具体的代入、计算、判断，就能把问题解决。考点二：利用“新定义”构建方程、函数模型例3、（2009年孝感）对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当ac且bd时， （a，b）=（c，d）定义运算“”：（a，b）（c，d）=（acbd，adbc）若（1，2）（p，q）=（5，0），则p ，q 解：由新定义“”运算规定得：（a，b）（c，d）=（acbd，adbc），（1，2）（p，q）=， ， 解得：， 所以答案为：1，2; 【剖析】本题是以学生已学的实数运算和二元一次方程组为知识基础，给出了一个新定义的运算法则，学生在阅读和理解新运算的基础上，来解决与新运算有关的问题。这类试题考查了学生的逻辑推理能力，由一般到特殊地读懂新运算的本质，关键是要准确理解新符号的数学意义。例4、（2009年杭州市）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当k2时，表示非负实数的整数部分，例如2.6=2，0.2=0。按此方案，第2009棵树种植点的坐标为A.（5，2009） B.（6，2010） C.（3，401） D（4，402）解：从特殊点的坐标出发，来探求它的变化周期性，从而来得出一般性的结论。，同理可得：，得出五个数的循环。所以，所以，因此得结论。【剖析】本题是一道探索性试题，以学生已学的点的坐标和已有的探究经验为基础，对的数学符号进行了新的定义, 即：表示非负实数的整数部分。解答本题，关键是要读懂新定义中“”的真正含义，先通过对特殊和简单数的探索对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度。第一次操作后，在处为对折点，均例5、（2009年义乌市）已知点A、B分别是轴、轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个伴侣正方形。（1）若某函数是一次函数，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m 2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ，写出符合题意的其中一条抛物线解析式 ，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？ 。(本小题只需直接写出答案)简解：（1）如图（1），正方形边长为；（2）如图（2），ADEBADCBF，解得反比例函数为；（3），对应的函数为，。【剖析】本题以正方形和一次函数、反比例函数、二次函数为知识基础和问题背景，给出了“函数图像的伴侣正方形”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”，看懂函数图象。本题主要考查了全等三角形、点坐标、函数图象等相关知识和数形结合思想的运用，考查学生综合运用知识的能力。例6、（2009年益阳市）阅读材料：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.BC铅垂高水平宽h a xCOyABD11解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及； （3）是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.简解：解：(1) (2)CD4-22(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则铅垂高由SPAB=SCAB，得：化简得：，解得，将代入中，解得P点坐标为【剖析】本题以阅读材料的形式提出了新定义：ABC的“水平宽”、“铅垂高(h)”，从而得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.运用新定义中的新方法，可解答一类在以抛物线为背景下的斜三角形的最大面积问题，解答本题，关键是读懂“新定义”和理解运用新公式。本题主要考查学生阅读理解能力和数形结合思想的运用。以考点三：利用“新定义”构建四边形、相似形模型（第23题）图3图2图4FEDCBAPGHJI例7、（2009年台州市）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，则点就是四边形的准内点BJIHGDCAP图1（1）如图2， 与的角平分线相交于点求证：点是四边形的准内点（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假” 任意凸四边形一定存在准内点（ ）任意凸四边形一定只有一个准内点（ ）若是任意凸四边形的准内点，则或( ) 简解：（1）如图2，过点作， 平分， 同理 ，是四边形的准内点图3（1）图4图3（2）（2） 平行四边形对角线的交点就是准内点，如图3（1）.或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点如图4.（3）真；真；假 【剖析】本题以四边形、特殊四边和角平分线的性质为知识基础，给出了“四边形的准内点”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”和看懂几何图形，理解点到直线的距离和角平分线的性质是解题的关键。本题主要考查学生的数学阅读理解能力、逻辑推理能力和画图操作能力。例8、（2009年绍兴市）若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点例如，如图的矩形中，点在边上，连，则点为直角点DBCAM（例8图）（1）若矩形一边上的直角点为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；（2）若点分别为矩形边，上的直角点，且，求的长解：（1）AB=2AD，如图（1） 直角点M为CD边的中点， MD=MC，AD=BC ，D=C=Rt, ADMADM，AMD=BMCAMB=Rt, AMD+BMC=90AMD=BMC=45， AD=DM，AB=2AD如图（2），作MHAB于点H，连结MN，AMB=90，AMD+BMC=90，AMD+DAM=90，DAM=BMC，又D=C，ADMMCB，既，或。当时，。当时，【剖析】本题以全等三角形、矩形和相似三角形为知识基础，给出了“直角点”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”和看懂几何中的基本图形。本题主要考查学生逻辑推理能力和分类讨论思想的运用，以及解方程和计算能力。解答本题，可从不同角度和思路来解答，是一道解法多样性的试题。例9、（2009年湖州市）若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.ACB第（25）题（1） 若点为锐角的费马点，且，则的值为_；（2）如图，在锐角外侧作等边连结.求证：过的费马点，且=.ACBPE例9题25（1）2.（2）证明：在上取点，使，连结，再在上截取，连结为正三角形， =，为正三角形，=，=，为的费马点，过的费马点，且=+2分【剖析】本题有一定的难度和能力要求较高，它以特殊三角形和全等三角形为知识基础，给出了“的费马点”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”和添加辅助线，并运用特殊三角形和全等三角形的有关知识来解决。本题主要考查学生逻辑推理能力和综合运用知识的能力。新定义试题创设了一个全新的问题情景，通过以新带旧的表现形式，来考查学生的知识和能力。在解决“新定义”中的问题时，学生不需要太多的数学知识，更多地是需要阅读理解能力和分析综合、推理论证能力，。因而，这类试题对学生灵活运用知识的考查可抽象到课程标准高层次水平，其命题方式也值得借鉴、研究和开发。7