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理科数学第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合则A. B. C. D.2.复数在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下列说法错误的是A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日持续增大D.该地区的空气质量指数与日期成负相关4.已知锐角的三个内角分别为则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. “更相减损术”是我国古代数学名著九章算术中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的的值分别为4，6，1，则输出的的值为 A.2 B.3 C.4 D.56.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为A. B.C. D.7如图，已知双曲线，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线的左，右焦点，且点C，D在双曲线上若，则此双曲线的离心率为 A. B. C. D.8.已知，则的值为A. B. C. D.9在三棱锥中，已知底面，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A. B. C. D.10.已知定义在上的奇函数满足，且当时，.则下列不等式正确的是A. B. C. D. 11.设函数，若且，则的取值范围为A. B. C. D.12.已知关于的方程有三个不相等的实数根且，其中，为自然对数的底数.则的值为A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的第三项系数为14.若实数满足线性约束条件，则的最大值为15.如图，在直角梯形中，已知是上一点，则线段的长度为16.在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，点是正方形所在平面内的一个动点，且，则线段的长度的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和.18. （本小题满分12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位:吨）. 若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水量超标.（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数.记随机变量为未来这3天中用水量超标的天数，求的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在边长为5的菱形中，.现沿对角线把翻折到的位置得到四面体，如图所示.已知.（1）求证：平面平面；（2）若是线段上的点，且，求二面角的余弦值. 图 图20.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点，长半轴与短半轴之比等于2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于不同的两点.若线段的中点满足，证明直线过定点，并求出该定点的坐标.21.（本小题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值；（2）当常数时，已知函数在上有两个零点.证明：.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为.若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，若不等式的解集为，求的值；（2）若关于的不等式当时恒成立，求的最大值.数学（理科）参考答案及评分意见第I卷（选择题，共60分）一选择题：(每小题5分，共60分)1.B；2.D；3.D；4.C；5.C；6.B；7.B；8.A；9.C；10.C；11.B；12.B.第II卷（非选择题，共90分）二填空题：(每小题5分，共20分)13.40；14.12；15.6；16.6.三解答题：(共70分)17.解：（1）设数列的公差为. 解得 4分 6分（2）由题意， 由-，可得 9分 11分 12分18.解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标” 为 事件 则 4分 （2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为. 随机变量表示未来三天用水量超标的天数，的取值分别为： 易知 则 8分 随机变量的分布列为10分 数学期望 12分19.解：（1）取的中点,连接得到.是菱形，, 平面平面 平面平面 4分（2）易知两两相互垂直.以为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.则设点.由 得 6分设为平面的一个法向量.由解得取则 8分取平面的一个法向量. 11分二面角的余弦值为 12分20.解：（1）. 椭圆的标准方程为 4分（2）易知当直线的斜率不存在时，不合题意.设直线的方程为点联立消去 可得由，可知点在以为直径的圆上. 7分整理，得 解得或（舍去）.直线的方程为故直线经过定点，且该定点的坐标为 12分21.解：（1）曲线在点处的切线为. 3分设由解得当时，单调递增;当时, ，单调递减.的极小值（也是最小值）为的最小值为 5分（2）当时，由解得当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.的极小值为 7分又使得 9分当时，设在上单调递增.恒成立.使得故成立. 12分22.解：（1）由消去参数可得 直线的普通方程为 2分 故曲线的直角坐标方程为 4分（2）将代入抛物线方程，可得即 8分设点对应的参数分别为. 则 10分23.解：（1）由题意，得. 当时，原不等式即；当时,原不等式即当时，原不等式即综上，原不等式的解集为，即. 5分（2）由题意，得当时,即不等式成立.当或时,不等式恒成立.当时,原不等式可化为.可得当时,原不等式可化为可得综上，可得，即的最大值为3. 10分
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