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1 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（1） （实 数） 一、选择题 1、如果自然数a是一个完全平方数，那么与 a之差最小且比a 大的一个完全平方数是 （ ） A. a1B. a2+1C. a2+2a+1D. a+2a+1 2、在全体实数中引进一种新运算 *，其规定如下： 对任意实数a、b 有a*b=（ab）(b1)对任意实数a 有 a*2a*a。当x2 时， 3*（x*2） 2*x1 的值为（ ） A. 34B. 16C. 12D. 6 3、已知 n 是奇数，m 是偶数，方程 myx ny 2811 2004 有整数解 x0、y0。则（ ） A. x0、y0均为偶数B. x0、y0均为奇数 C. x0是偶数 y0是奇数D. x0是奇数 y0是偶数 4、设 a、b、c、d 都是非零实数，则四个数-ab、ac、bd、cd（ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正 5、满足等式2003200320032003xyxyxyyx的正整数对的个数是 （ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 6、已知 p、q 均为质数，且满足 5p2+3q=59，由以 p3、1pq、2pq4 为边长的三角形是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ） 整除。 A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 8、在 1、2、3100 个自然数中，能被 2、3、4 整除的数的个数共（ ）个 A. 4B. 6C. 8D. 16 二、填空题 1、若 2001 1 1981 1 1980 1 1 S，则 S 的整数部分是_ 2、M 是个位数字不为零的两位数，将 M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数 N，若 MN 2 恰是某正整数的立方，则这样的数共个。 3、已知正整数 a、b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍，那么，a、b 中较大的数是 。 4、设 m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则 m 5、满足 19982m219972n2（0mn1998）的整数对（m、n）共有个 6、已知 x 为正整数，y 和 z 均为素数，且满足 zyx yzx 111 ，则 x 的值是 三、解答题 1、试求出这样四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位 数。 3 2、从 1、2、3、4205 共 205 个正整数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数 a、b、c（abc） ，都有 abc。 3、已知方程03246 22 nnxx的根都是整数。求整数 n 的值。 4 4、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现 有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号 码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下 去，最后一个学生进来，把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯 还亮着。 5、若勾股数组中，弦与股的差为 1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式： 1222212 22 aaaaa， ， ，其中a为正整数。 5 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（2） （代数式、恒等式、恒等变形） 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为 原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（ ） A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元 2、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么 |abc abc c c b b a a 的所有可能的值为 （ ） A. 0B. 1 或-1C. 2 或-2D. 0 或-2 3、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B60，则 bc a ba c 的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1D. 2 4、设 ab0，a2+b2=4ab，则 ba ba 的值为（ ） A. 3B. 6C. 2D. 3 5、已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 6、设 a、b、c 为实数， 2 2 6 2 3 2 222 aczcbybax，则 x、y、z 中，至少有 一个值（ ） A. 大于 0B. 等于 0C. 不大于 0D. 小于 0 7、已知 abc0，且 a+b+c0，则代数式 ab c ca b bc a 222 的值是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 0 8、若1364983 22 yxyxyxM（x、y 是实数） ，则 M 的值一定是（ ） A. 正数B. 负数C. 零D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数） 不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为 c A BC a b 6 2、已知-1a0，化简4) 1 (4) 1 ( 22 a a a a得 3、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，则 x+2y+3z=_ 4、已知 x1、x2、x40都是正整数，且 x1+x2+x4058，若 x12+x22+x402的最大值为 A，最 小值为 B，则 AB 的值等于 5、计算 )441()417)(413)(49)(45( )439()415)(411)(47)(43( 44444 44444 _ 6、已知多项式1547 23 xbxax可被13 x和32 x整除，则ba 三、解答题： 1、已知实数 a、b、c、d 互不相等，且x a d d c c b b a 1111 ，试求 x 的值。 7 2、如果对一切 x 的整数值，x 的二次三项式cbxax 2 的值都是平方数（即整数的平方） 。 证明：2a、ab、c 都是整数。 a、b、c 都是整数，并且 c 是平方数。 反过来，如果成立，是否对于一切 x 的整数值，x 的二次三项式cbxax 2 的值都是平方数？ 3、若 2222 1996199619951995a，求证：a 是一完全平方数，并写出 a 的值。 8 4、设 a、b、c、d 是四个整数，且使得 222222 )( 4 1 )(dcbacdabm是一个非零整数，求证： m一定是个合数。 5、若 2 a的十位数可取 1、3、5、7、9。求a的个位数。 9 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（3） （方 程） 一、选择题： 1、方程018)8( 2 axax有两个整数根，试求整数 a 的值（ ） A. -8B. 8C. 7D. 9 2、方程1) 1( 32 x xx的所有整数解的个数是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5 3、若 0 x是一元二次方程)0(0 2 acbxax的根，则判别式acb4 2 与平方式 2 0 )2(baxM的大小关系是（ ） A. MB. =MC. MD. 不能确定 4、已知acb4 2 是一元二次方程)0(0 2 acbxax的一个实数根，则 ab 的取值范围为 （ ） A. ab 8 1 B. ab 8 1 C. ab 4 1 D. ab 4 1 5、已知 1 x、 2 x是方程0)53()2( 22 kkxkx的两个实根，则 2 2 2 1 xx的最大值是 （ ） A. 19B. 18C. 9 5 5D. 以上答案都不对 6、已知zyx、为三个非负实数，且满足132523zyxzyx， ，zyxu73若，则 u 的最大值与最小值之和为（ ） A. 77 62 B. 77 64 C. 77 68 D. 77 74 7、若 m、n 都是正实数，方程02 2 nmxx和方程02 2 mnxx都有实数根，则 m+n 的最小值 是（ ） A. 4B. 6C. 8D. 10 8、气象爱好者孔宗明同学在 x（x 为正整数）天中观察到：有 7 个是雨天；有 5 个下午是晴天； 有 6 个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则 x 等于（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10 二、填空题 1、已知两个方程00 22 abxxbaxx与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是 2、若)(0161101611 22 babbaa， ，则 b a a b 10 3、已知关于 x 的方程012) 1( 2 nxnx的两根为整数，则整数 n 是 4、设 1 x、 2 x是方程02) 1(2 22 kxkx的两个实数根，且8) 1)(1( 21 xx，则 k 的值是 5、已知 a、b 是方程04 2 mxx的两个根，b、c 是方程058 2 mxx的两个根，则 m 6、设 1 x、 2 x是关于 x 的一元二次方程2 2 aaxx的两个实数根，则)2)(2( 1221 xxxx的最大值 为 三、解答题 1、关于 x 的方程01) 1( 2 xkkx有有理根，求整数 k 的值。 11 2、设方程01200120032002 22 xx的较大根是r，方程0120022001 2 xx的较小根是s， 求rs的值。 3、确定自然数 n 的值，使关于 x 的一元二次方程076351082 22 nnxnxx的两根均为质数， 并求出此两根。 12 4、已知关于 x 的一元二次方程054)15117()9)(6( 2 xkxkk的两个根均为整数，求所有满 足条件的实数 k 的值。 5、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时 1 v、 2 v、 3 v、 4 v千米，且满足 1 v 2 v 3 v 4 v0，其中， 水 v为河流的水流速度（千米/小时） ，它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1） 四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。 （2）经过 1 小时， 、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？ 13 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（4） （不等式） 一、选择题： 1、若不等式x+1+x-3a 有解，则 a 的取值范围是（ ） A. 0a4B. a4C. 0a2D. a2 2、已知 a、b、c、d 都是正实数，且 d c b a ，给出下列四个不等式： dc c ba a dc c ba a dc c ba b dc d ba b 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3、已知 a、b、c 满足 abc，ab+bc+ac0，abc1，则（ ） A. a+b|c|B. |a+b|c| C. |a+b|=|c|D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定 4、关于 x 的不等式组 ax x x x 2 3 5 3 52 只有 5 个整数解，则 a 的取值范围是（ ） A. -6b，若两个三角 形的最小内角相等，则 b a 的值等于（ ） A. 2 13 B. 2 15 C. 2 23 D. 2 25 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A. 0B. 1C. 3D. 5 8、若函数)0(kkxy与函数 x y 1 的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，则ABC 的面积为 （ ） A. 1B. 2C. kD. k2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与 2 ba 的大小关系是 60 A B C D A B C D P 图 8-1 图 8-2 AD CB EF 图 8-3 图 8-4 A BC D AD C F C B E 29 2、如图 8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABBAB，则BAC 的度数为 3、已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长 4、如图 8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB4，PC5，则 PD 5、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时 太阳光线与水平面的夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？ 如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。 6、如图 8-8，在ABC 中，ABC60，点 P 是ABC 内的一点，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则 PB 图 8-6 A B D C P 16 米 20 米 A B C D 甲乙 图 8-7 图 8-8 B A C P A B B D C 图 8-5 E A 30 三、解答题 1、如图 8-9，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD 2 1 （AB+AC） 2、已知一个三角形的周长为 P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？ A B D C 图 8-9 31 3、如图 8-10，在 RtABC 中，ACB90，CD 是角平分线，DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交 BC 于点 F。 求证：四边形 CEDF 是正方形。 CD22AEBF 4、从 1、2、3、4、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个 数（这里要求三角形三边长互不相等） ，试问满足条件的 k 的最小值是多少？ A C F B D E 图 8-10 32 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（9） （面积及等积变换） 一、选择题： 1、如图 9-1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AC 与 BD 交于 O，点 P 在 AB 的延长线上，且 BPCD，则 图形中面积相等的三角形有（ ） A. 3 对B. 4 对 C. 5 对D. 6 对 2、如图 9-2，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE，设 AF、CE 交于点 G，则 ABCD AGCD S S 矩形 四边形 等于（ ） A. 6 5 B. 5 4 C. 4 3 D. 3 2 3、设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且 AB AD 3 1 ，若在边 AC 上取一点 E，使四边形 DECB 的 面积为 4 3 ，则 EA CE 的值为（ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 5 1 4、如图 9-3，在ABC 中，ACB90，分别以 AC、AB 为边，在ABC 外作正 方形 ACEF 和正方形 AGHB，作 CKAB，分别交 AB 和 GH 于D 和 K，则正方 形 ACEF 的面积 S1与矩形 AGKD 的面积 S2的大小关系是 （ ） A. S1S2B. S1S2 C. S1S2D. 不能确定，与 AB AC 的大小有关 5、如图 9-4，四 边形 ABCD 中， A60，BD90， AD8，AB7，则 BC+CD 等于 （ ） A. 36B. 53C. 43D. 33 6、如图 9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a1， 则正方形的面积为 （ ） A. 2 537 B. 2 53 C. 2 15 D. 2 )21 ( 7、如图 9-6，矩形 ABCD 中，ABa，BCb，M 是 BC 的中点，DEAM，E 为垂足，则 DE（ ） PA D C B O 图 9- 1 A B CD E FG 图 9-2 A B C D HGK F E 图 9-3 A B C D 图 9-4 a b a a b b 图 9-5 a b A BC D E M 图 9-6 33 A. 22 4 2 ba ab B. 22 4ba ab C. 22 4 2 ba ab D. 22 4ba ab 8、O 为ABC 内一点，AO、BO、CO 及其延长线把ABC 分成六个小三角形， 它们的面积如图 9-7 所示，则 SABC（ ） A. 292B. 315 C. 322D. 357 二、填空题 1、如图 9-8，梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a，高为 h，则图中阴影部分的面积为 2、如图 9-9，若等腰三角形的底边上的高等于 18cm，腰上的中线等于 15cm，则这个等腰三角形的面积等于 3、如图 9-10，在ABC 中，CEEB12，DEAC，若ABC 的面 积为 S，则ADE 的面积为 4、如图 9-11，已知 D、E 分别是ABC 的边 BC、CA 上的点，且 BD4，DC1，AE5，EC2。连结 AD 和 BE，它们相交于点P，过点 P 分别 作 PQCA，PRCB，它们分别与边 AB 交于点 Q、R，则PQR 的面积与ABC 的面积之比为 5、如图 9-12，梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC25，AFFD11，BEEC23，EF、CD 延长线交于 G，用最简单的整数比来表示，SGFDSFEDSDEC 6、如图 9-13，P 是矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB4，PC5，则 PD 三、解答题 1、如图 9-14，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，F 是 CD 上的点， SABESADF 3 1 S矩形 ABCD。 A BC D E F O 84 x y y40 y 30 y 35 y 图 9-7 图 9- 8 A E D C F B A M C D B G 图 9-9 A C E B D 图 9-10 A B QR D C E P 图 9-11 A BC D G F E 图 9-12 A BC D P 图 9-13 A D F C EB 图 9-14 34 求： CEF AEF S S 的值。 2、一条直线截ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F。 求证：1 FB AF EA CE DC BD A B CD E F 图 9-15 35 3、如图 9-16，在 ABCD 中，P1、P2、P3Pn-1是 BD 的 n 等分点，连结 AP2，并延长交 BC 于点 E， 连结 APn-2并延长交 CD 于点 F。 求证：EFBD 设 ABCD 的面积是 S，若 SAEF 8 3 S，求 n 的值。 4、如图 9-17，ABC 是等腰三角形，C90，O 是ABC 内一点，点 O 到ABC 各边的距离等于 1，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 45得到A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形 KLMNPQ。 证明：AKL，BMN，CPQ 都是等腰直角三角形。 求证：ABC 与A1B1C1公共部分的面积。 D B A C E F P1 P2 Pn-2 Pn-1 图 9-16 图 9-17 A B C C1 A1 B1 L M K N Q P O 36 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（10） （三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖） 一、填空题： 1、G 是ABC 的重心，连结 AG 并延长交边 BC 于 D，若ABC 的面积为 6cm2， 则BGD 的面积为 （ ） A. 2cm2B. 3 cm2 C. 1 cm2D. 2 3 cm2 2、如图 10-1，在 RtABC 中，C90，A30，C 的平分线与B 的 外角的平分线交于 E 点，则AEB 是（ ） A. 50B. 45C. 40D. 35 3、在ABC 中，ACB90，A20，如图 10-2，将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角 到ACB的位置， 其中 A、B分 别是 A、B 的对应点，B 在 AB上，CA交 AB 于 D，则 BDC 的度数 为（ ） A. 40B. 45 C. 50D. 60 4、设 G 是ABC 的垂心，且 AG6，BG8，CG10，则三角形的面积为（ ） A. 58B. 66C. 72D. 84 5、如图 10-3，有一块矩形纸片 ABCD，AB8，AD6，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，CEF 的面积为（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8 6、在ABC 中，A45，BCa，高 BE、CF 交于点 H，则 AH（ ） A. a 2 1 B. a 2 2 C. aD. a2 7、已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A1、B1、C1分别是点 I 关于 BC、CA、AB 的对称点，若点 B 在 A1B1C1的外接圆上，则ABC 等于（ ） A. 30B. 45C. 60D. 90 8、已知 AD、BE、CF 是锐角ABC 三条高线，垂心为 H，则其图中直角三角形的个数是（ ） A. 6B. 8C. 10D. 12 二、填空题 1、如图 10-4，I 是ABC 的内心，A40，则CIB 2、在凸四边形 ABCD 中，已知 ABBCCDDA2231，且ABC90，则DAB 的度数 是 A C B E 图 10-1 A B C D AB 图 10-2 A B CD D A E B C A D E B C F 图 10-3 A C I B D 图 10- 4 A BC D E D 图 10-5 37 3、如图 10-5，在矩形 ABCD 中，AB5，BC12，将矩形 ABCD 沿对角线对折，然后放在桌面上，折 叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是 12 点整，则经过秒钟后，OAB 的面积第一次达到最大。 5、已知等腰三角形顶角为 36，则底与腰的比值等于 6、已知 AM 是ABC 中 BC 边上的中线，P 是ABC 的重心，过 P 作 EF（EFBC） ，分别交 AB、AC 于 E、F，则 AF CF AE BE 三、解答题 1、如图 10-6，在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E，过 D 作 AE 的垂线与 OA 交于 F。求证： OEOF 38 2、在ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到点 E、F，使 DEDF，过 E、F 分别作 CA、CB 的垂线相交于 P，设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。 求证：DEMDFN PAEPBF 3、如图 10-8，在ABC 中，ABAC，底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M、N，边 CN 并延长交 AB 于 E。 求证：EMBN A E C B F D P M N 图 10-7 A BC N M E D 图 10-8 39 4、如图 10-9，半径不等的两圆相交于 A、B 两点，线段 CD 经过点 A，且分别交两于 C、D 两点，连结 BC、CD，设 P、Q、K 分别是 BC、BD、CD 中点 M、N 分别是弧 BC 和弧 BD 的中点。 求证： QB NQ PM BP KPMNQK A B CD M N K P Q 图 10-9 1 数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（1）实数参考答案）实数参考答案 一、选择题 1、解：设与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平方数是 x，则1ax，所以 12) 1( 2 aaax 应选 D 6 138 13) 13)(13( 133*3 12*2)2*2(*3 12*2)2(*32 2* 、解：原式 应选 D 3、2004n 0 y，n 是奇数， 0 y必是奇数，又 11 0 x=m28 0 y，m 和 28 0 y均为偶数，所以 11 0 x是偶数， 0 x应为偶数。故选 C 4、解：abacbdcda2b2c2d20，所以这四个数中应一正三负或一负三正。应选 D 5、解：由02003200320032003xyyxxyyx可得 020030)2003)(2003(yxyxxy 而 所以是质数，因此必有 又因为 故2003200302003xyxy 2003 1 y x 1 2003 y x 应选 B 6、解：因qp35 2 为奇数，故 p、q 必一奇一偶，而 p、q 均为质数，故 p、q 中有一个为 2，若 5 53 2 2 pq 不合题意舍去。若 p2，则 q3，此时 p35，1-p+q=12，2p+q-4=13，因为 52+122=132，所以 5、12、13 为边长的三角形为直角三角形。故选 B 7、解：依题意设六位数为abcabc，则 abcabca105b104c103a102b10ca102（1031）b10（1031） c（1031）（a103b10c） （1031）1001（a103b10c） ，而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。故选 C 8、解：能被 2、3、4 整除即能被2，3，412 整除，共有 12、24、36、4896 共 8 个。应选 C 二、填空题 1、解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以90 22 1980 1980 1 22 1 S，又 2 1980、19812000 均小于 2001，所以 22 21 90 22 2001 2001 1 22 1 S，从而知 S 的整数部分为 90。 2、解：设两位数 M10a+b，则 N10b+a，由 a、b 正整数，且 1a，b9， 3 )(9)10()10(cbaabbaNM，又 c 是某正整数，显然 c3100，c4，而且 c3是 9 的倍数，所以 c3，即 ab3，满足条件的两位数有 41、52、63、74、85、96 共 6 个 3、解设（a，b）d，且 amd，bnd，其中 mn，且 m 与 n 互质，于是 a、b 的最小公倍数为 mnd，依题题有 105 120 d mnd ndmd 即 753 532)( 3 mn dnm ，则 mn 据可得 1 105 n m 或 3 135 n m 或 5 21 n m 或 7 15 n m 根据只取 7 15 n m 可求得 d15，故两个数中较大的数是 md225。 4、解：最小三个合数是 4，6，8，4+6+818，故 17 是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数，当 m18 时，若 m2k18，则 m4+6+2（k5） ，若 m2k118，则 m4+9+2（k7）即任意大 于 18 的整数均可表示为三个互不相等的合数之和，故 m17 5、解：n2m2399551747， （n-m） （n+m）51747，显然对 3995 的任意整数分拆均可得到 （m，n） ，由题设（0mn1998） ，故满足条件的整数对（m，n）共 3 个。 6、解：由 yz zy yzx 111 及 xyz 得 yz=1，即 y 与 z 是两个相邻的自然数，又 y 与 z 均为素数， 只有 y3，z2，故 x=yz=6。 三、解答题 1、解：设前后两个二位数分别为 x、y，10 x，y99。 根据题意有yxyx100)( 2 即0)()50(2 22 yyxyx 当0)992500(4)(4)50(4 22 yyyy yyx yy 99250050 250992500 时方程有实数解 即 由于 2500-99y 必为完全平方数，而完全平方数的末位数仅可能为 0、1、4、5、6、9，故 y 仅可 取 25，此时，x=30 或 20，故所求四位数为 2025 或 3025。 2、解：首先 1、14、15、16205 这 193 个数满足题设条件，事实上，设 a、b、c（abc）这 3 个 数取自 1、14、15、16205， 若 a1，则 abac； 若 a1，则 ab1415210c 3 另一方面考虑如下 12 个数组 （2，25，225） （3，24，324）（13，14，1314）上述这 36 个数互不相等，且其中最小 的数为 2，最大的数为 1314182205，所以每一个数组中的 3 个数不能全部都取出来，于是，如 果取出来的数满足题设条件，那么，取出来的数的个数不超过 205-12193（个） 综上所述，从 1、14、15、16205 中最多能取出 193 个数，满足题设条件。 3、解：原方程解得： 93243 2 932426 2 94324446 2 )324(4366 2 2 2 2 nn nn nnnn x 因为方程的根是整数，所以 4n232n9 是完全平方数。 设 4n232n9m2 （m0） （2n8）255m2 （2n8m） （2n8m）55 因 55155（1）（55）（5）（11）511 1182 582 5582 182 582 1182 182 5582 mn mn mn mn mn mn mn mn 解得： n10、0、-8、-18 4、解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些 被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。 5、证明：设勾长为x，弦长为z，则股长为1z 1) 1(zz， zzx，1是一个基本勾股数组。 由z为奇数知：1z为偶数，从而x为奇数，设12 ax（a 为正整数） ，则有 222 ) 1() 12(zza，解得 122 2 aaz，故勾股数组具有形式 1222212 22 aaaaa 4 数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（2）参考答案）参考答案 一、选择题 1、解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的 b%，所以 调价后每件衬衣的零售价为 m（1a%）b%元。 应选 C 2、解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。 当 a，b，c 为两正一负时： 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以，； 当 a，b，c 为两负一正时： 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以， 由知 |abc abc c c b b a a 所有可能的值为 0。 应选 A 3、解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，则于B60，所以 DB 2 C ，ADC 2 3 。在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（a 2 C ）2b2 4 3 C2，整理得 a2c2=b2ac，从而有 1 )( 2 2222 bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba c 应选 C 4、解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab，故A 是ABC 的 最小角，设AQ，则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为Q，从而它 与ABC 全等，所以 DCb，ACDQ，因有公共底角 B，所以 有等腰ADC等腰CBD，从而得 BC BD AB BC ，即 b ba a b ，令 b a x ，即得方程01 2 xx，解得 2 15 b a x 。选 B。 A B C D PE F G 60 A B C D E AD CB EF H G Q A B C D 29 7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不能超过 3 个，又因为内角 与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。 8、A。设点 A 的坐标为（yx，） ，则1xy，故ABO 的面积为 2 1 2 1 xy，又因为ABO 与CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。 二、填空题 1、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为 M、N，MNd，另一组对边是 AD 和 BC，其长度分别为 a、b，连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连结 MP、PN，则 MP 2 a ，NP 2 b ，显然恒有 2 ba d ，当 ADBC，由 平行线等分线段定理知 M、N、P 三点共线，此时有 2 ba d ， 所以d与 2 ba 的大小关系是) 2 ( 2 d baba d 或。 2、12。设BAC 的度数为 x，ABBB BBD2x，CBD4x ABAA AABAB ACBD4x AAB)180( 2 1 x 18044)180( 2 1 xxx，于是可解出 x12。 3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7） 、 （3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、 （5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判定（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11）这三 组不能构成三角形的边长，因此共有 7 个数组构成三角形三边长。 4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。 设 AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd， 则 222222 222222 DPadcbBP dbCPcaAP ， ， 于是 2222 DPBPCPAP，故18453 2222222 BPCPAPDP， DP32 5、设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的长度就是甲楼的影 子在乙楼上的高度，设 CEAB 于点 E，那么在AEC 中，AEC90，ACE30，EC20 米。 所以 AEEC6 .11 3 3 2030tan20tanACE（米） 。 CDEBAB-AE16-11.64.4（米） 设点 A 的影子落到地面上某一点 C，则在ABC 中， A B D C P M N A B D C P E F GH a a b b cd 16 米 20 米 A B C D 甲乙E 30 ACB30，AB16 米，所以 7 . 27316cotACBABBC（米） 。所以要使甲楼的影 子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要 27.7 米。 6、提示：由题意APBBPCCPA120，设PBC，ABC60 则ABP60，BAPPBC， ABPBPC， PC BP BP AP ，BP2APPC 3448 PCAPBP 三、解答题 1、证明：如图延长 AD 至 E，使 ADDE，连结 BE。 BDDC，ADDE，ADCEDB ACDEBD ACBE 在ABE 中，AEABBE，即 2ADABAC AD 2 1 （ABAC） 2、答案提示： 在ABC 中，不妨设 abc a+bca+b+c2c 即 p2cc 2 p ， 另一方面 ca 且 cb2ca+b 3c 3 p cpcba。 因此 23 p c p 3、证明：ACB90，DEBC，DFAC，DEAC，DEBC， 从而ECFDECDFC90。 CD 是角平分线 DEDF，即知四边形 CEDF 是正方形。 在 RtAED 和 RtDFB 中， DEBC ADEB RtAEDRtDFB BF DE DF AE ，即 DEDFAEBF CD2DE2DF， BFAEDFDEDFDECD2222 2 4、解：这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数都不能成为三边互 不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是多少？符合上述条件的数组，当 k4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组 中最大的两个数之和，所以，为使 k 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这 样得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2an显然总有 ai大于等于中的第 i 个数，所以 n16k1，从而知 k 的最小值为 17。 A B D C E 31 数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（9）参考答案）参考答案 一、选择题： 1、C。 ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABC SSSSSSSSSS ， 2、D。连结 AC，有3:1: ABCAGC SS，则 ABCDABCDABCDACDAGCAGCD 3 2 2 1 2 1 3 1 S 矩形矩形矩形四边形 SSSSS 。 3、B。如图联结 BE， ADE S 4 1 4 3 1， 设x AC CE ，则x ABE 1S 4 1 4 1 3 1 S x x ADE ， 3 1 EA CE 4、A。解：AGADSACS 2 2 1 ，因为ACBRtADCRt， 所以 AB AC AC AD ，即ABADAC 2 ，又因为 ABAG， 所以 2 2 1 SAGADACS，所以应选 A。 5、B。解：如图延长 AD，BC 相交于 E，在 RtABE 中，可求得 AE14， 于是 DEAE，AD=6，又 BE3，在 RtCDE 中， 可求得 CD23，CE43，于是 BCBECE 3，BC+CD53。 6、A。解：由右图与左图的面积相等，得 2 )()(bababb ，已知1a，所以有 2 ) 1() 12(bbb，即01 2 bb，解得 2 51 b ，从而正 方形的面积为 2 537 ) 2 53 () 1( 22 b。 7、A。解：由ADEABM，得 DE 22 224 2 ) 2 1 ( ba ab ba ab AM ABAD 8、B。 CDO ACO BDO ABO S S DO AO S S ，即 30 35 40 84xy A E D BC A B C D E 60 32 又 CEO BCO BDE ABO S S OE BO S S ，即 35 7084 x y 842 11234 yx yx ，解之得 56 70 y x SABC84+40+30+35+70+56315。 二、填空题 1、ahS 2 1 阴影 。解：延长 AF 交 DC 的延长线于 M，则ABFMCF， AFFM，SABFSCMF。S阴影SDFM，AFFM SADFSMDF ABCD S 2 1 梯形阴影 S ahS ABCD梯形 ，ahS 2 1 阴影 。 2、144。解：作 MNBC 于 N，AMMC，MNAD，DNNC。9 2 1 ADMN，在 Rt BMN 中，BM15，MN9。BN12，而 BDDC2DN，3DN12，DN4，BC16，S ABC= 2 1 ADBC 2 1 1816144。 3、SADE 9 2 S。解：CEEB12，设 CEk，则 EB2k，DEAC， 而 BEBC2k3k23， 2 ) 3 2 ( s S BDE ，SBDE 9 4 S DEAC 2 1 BE CE BD AD ， 2 1 BD AD S S BDE ADE ，则 SADE 2 1 SBDE 9 2 S 4、 1089 400 。解：过点 E 作 EFAD，且交 BC 于点 F，则 5 2 EA CE FD CF ，所以 7 5 25 5 CDFD。因为 PQCA，所以 33 28 7 5 4 4 BF BD BE BP EA PQ 于是 33 140 PQ。因为 PQCA，PRCB，所以QPRACB， 因为PQRCAB 故 1089 400 ) 33 20 ()( 22 CA PQ S S CAB PQR 。 5、126。解：设 AD2，则 BC5，FD1，EC3 GFGEFDEC13，GFFE12，SGFDSFEDGFFE12 显然有 SEFDSCEDFDEC13，SGFDSFEDSCED126。 6、32。解：过点 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。设 AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，则 222222222222 CPadDPcbBPdbcaAP， 33 于是 2222 DPBPCPAP，故18453 2222222 BPCPAPDP，DP32。 三、解答题 1、设 BCa，CDb，由 ABCD 3 1 矩形 SS ABE ，得ab 3 1 BEb 2 1 。BE 3 2 a， 则 EC 3 1 a。同理 FC 3 1 b，abba 18 1 3 1 3 1 2 1 S CEF 。 abCDADECS AECD 3 2 )( 2 1 梯形 ， ababaabSS AEF 18 5 3 1 18 1 3 2 SS ADFCEFAECD 梯形 1 5 18 1 18 5 ab ab S S CEF AEF 。 2、答案提示：连结 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。 3、解：因 ADBC，ABDC，所以DAPBEPABPFDP nn2222 ， 从而有 2 2AP 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n BP DP EP n DP BP FP AP n n n n ， 即 FP AP FP AP n n 2 2 2 2 所以 EFBD 由可知 2 2 nAB DF ，所以S n S AFD 2 1 ，同理可证S n S ABE 2 1 显然 2 2 nDC DF ，所以 2 4 1 n n DC DF DC DFDC DC FC ， 从而知S n n S ECF 2 ) 2 4 ( 2 1 ，已知, 8 3 SS AEF 所以有 S n n S n SS 2 ) 2 4 ( 2 1 2 1 2 8 3 ，即 8 3 )2(2 )4( 2 2 1 2 2 n n n 解方程得 n6。 4、证明：连结 OC、OC1，分别交 PQ、NP 于点 D、E，根据题意得COC145。 点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于 1，OC 是ACB 的平分线。 ACB90 OCEOCQ45 同理OC1DOC1N45 OECODC190 CQPCPQC1PNC1NP45 CPQ 和C1NP 都是等腰直角三角形。
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