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初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分） 1如果a，b都代表有理数，并且ab=0，那么 ( ) Aa，b都是0Ba，b之一是0Ca，b互为相反数Da，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=2，满足2+(2)=0，由此a、b互为相反数。2下面的说法中正确的是 ( ) A单项式与单项式的和是单项式B单项式与单项式的和是多项式C多项式与多项式的和是多项式D整式与整式的和是整式答案：D解析：x，x3都是单项式两个单项式x3，x之和为x3+x是多项式，排除A。两个单项式x，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。3下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数B没有最小的正有理数C没有最大的负整数D没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4如果a，b代表有理数，并且ab的值大于ab的值，那么 ( ) Aa，b同号Ba，b异号Ca0Db0答案：D5大于并且不是自然数的整数有 ( ) A2个B3个C4个D无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在右边0的左边（包括0在内）的整数只有3，2，1，0共4个选C。6有四种说法： 甲正数的平方不一定大于它本身；乙正数的立方不一定大于它本身； 丙负数的平方不一定大于它本身；丁负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A0个B1个C2个D3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。7a代表有理数，那么，a和a的大小关系是 ( ) Aa大于aBa小于aCa大于a或a小于aDa不一定大于a 答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。8在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A乘以同一个数B乘以同一个整式C加上同一个代数式D都加上1 答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x2=0，易知其根为x=2若该方程两边同乘以一个整式x1，得(x1)(x2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D 9杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A一样多B多了C少了D多少都可能答案：C解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a(110%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)(1+10%)=0.91.1a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 0.991，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。 10轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( ) A增多B减少C不变D增多、减少都有可能答案：A二、填空题（每题1分，共10分） 11989199019891989=_。答案：1989199019891989 =(19891990+19891989)(1989199019891989) =(19891990+19891989)1=39783979。解析：利用公式a-b=（a+b）(a-b)计算。21234+56+78+49995000=_。 答案：12+34+56+78+49995000 =(12)+(34)+(56)+(78)+(49995000) =2500。解析：本题运用了运算当中的结合律。3当a=0.2，b=0.04时，代数式 a-b的值是_。 答案：0解析：原式=(0.2)0.04=0。把已知条件代入代数式计算即可。4含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是_克。 答案：45000（克）解析：食盐30%的盐水60千克中含盐6030%（千克），设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，6030%=(0.001x)40% 解得：x=45000（克）。 遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。三、解答题1.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的，乙每月比甲多开支100元，三年后负债600元，求每人每年收入多少？答案： 解得，x=5000答：每人每年收入5000元。所以S的末四位数字的和为1995=24。4一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程。答案：设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米依题意则：由有2x+y=20， 由有y=12-x，将之代入得 2x+12-x=20。所以x=8(千米)，于是y=4(千米)。答：上坡路程为8千米，下坡路程为4千米。5求和：。答案：第n项为所以。6证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数。证明：设p=30qr，0r30，因为p为质数，故r0，即0r30。假设r为合数，由于r30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5。再由p=30qr知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾。所以，r一定不是合数。 解：设由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)。可知m4由，m0，且为整数，所以m=1，2，3下面分别研究p，q。(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解(3)若m=3时，有解之得故pq=8。奥数题二一、选择题1数1是 ( ) A最小整数B最小正数C最小自然数D最小有理数答案：C解析：整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D。1是最小自然数，正确，故选C。2.a为有理数，则一定成立的关系式是 ( ) A7aaB7+aaC7+a7D|a|7 答案：B解析：若a=0，70=0排除A；7+0=7排除C；|0|7排除D，事实上因为70，必有7+a0+a=a选B。3.3.14167.5944+3.1416(-5.5944)的值是 ( ) A6.1632B6.2832C6.5132D5.3692答案：B解析：3.14167.5944+3.1416(-5.5944) =3.1416(7.5944-5.5944)=23.1416 =6.2832，选B。4.在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( ) A225B0.15C0.0001D1答案：B解析：-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)(-15)=0.15，选B。二、填空题 1计算：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=_。答案：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=(-2)-(-1) =-1 。2.求值：(-1991)-|3-|-31|=_。答案：(-1991)-|3-|-31|=-1991-28=-2019。3.n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。则n的最小值等于_。答案：4解析：1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字即为0000，即1990n末位至少要4个0，所以n的最小值为4。4.不超过(-1.7)的最大整数是_。答案：2解析：(-1.7)=2.89，不超过2.89的最大整数为2。5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是_。答案：29解析：个位数比十位数大7的两位数有18，29，其中只有29是质数。 三、解答题1已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x2000的值。答案：原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x131-2x+2000=2003。2某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？答案：原来每天可获利4100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4x)元，但每天卖出为(100-10 x)件。如果设每天获利为y元，则y (4x)(100-10 x)=400100 x-40 x-10 x2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490。所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大为490元。3如图196所示，已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，12=90。求证：DAAB。证明：CE平分BCD，DE平分ADC及12=90，ADCBCD=180， ADBC。又 ABBC， ABAD。4.求方程xy-2x+y=4的整数解。答案：xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2。因为x10，且x，y都是整数，所以5.王平买了年利率7.11的三年期和年利率为7.86的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22)答案：设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(10.07113)(10.0522)2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。6. 对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？答案：因为 (k1)xm-4， m为一切实数时，方程组有唯一解当k=1，m=4时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。当k=1，m4时，无解。所以，k1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解。奥数题三一、选择题1.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( ) A. xy与-3xzB.3.22mn3与 n3mC.0.2ab与0.2abD.11abc与 ab 答案：B解析：字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( ) A3x-3Bx-1C3x-1Dx-3 答案：C解析：(x-1)-(1-x)+(x+1) =x-1-1+x+x+1=3x-1，选C。3.两个10次多项式的和是 ( ) A20次多项式B10次多项式C100次多项式D不高于10次的多项式答案：D解析：多项式x10+x与-x10+x之和为x+x是个次数低于10次的多项式，因此排除了A、B、C，选D。4.若a+10，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) Aa，-1，1，-aB-a，-1，1，aC-1，-a，a，1D-1，a，1，-a 答案：A解析：由a+10，知a-1，所以-a1。于是由小到大的排列次序应是a-11-a，选A。 5.a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则 ( ) AcbaBcabCabcDbca 答案：B解析：易见a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.50，c=123.4-(-123.5)123.4a，所以bac，选B。6若a0，b0，且|a|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( ) A(a-b)(ab+a)B(a+b)(a-b)C(a+b)(ab+a)D(ab-b)(a+b) 答案：A因为a0，b0所以|a|=-a，|b|=b由于|a|b|得-ab，因此a+b0，a-b0。ab+a0，ab-b0。所以应有(a-b)(ab+a)0成立，选A。 7从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到( ) A4a-bBb-aCa-9bD7b 答案：D解析：=2a+5b-2a+2b=7b，选D。8a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c ( ) A互为相反数B互为倒数C互为负倒数D相等 答案：A解析：因为a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互为相反数，选A。9张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( ) A.5B.8 C.12 D.13 答案：D解析：前三个数之和=153， 后两个数之和=102。 所以五个有理数的平均数为（45+20）5=13，选D。二、填空题（每题1分，共10分） 12+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=_。答案：29解析：前12个数，每四个一组，每组之和都是0所以总和为14+15=29。2.若P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b，则代入到代数式P-Q-2P-(-P-Q)中，化简后，是_。 答案：12ab。解析：因为P-Q-2P-(-P-Q) =P-Q+2P+(-P-Q) =P-Q+2P-P-Q =2P-2Q=2(P-Q) 以P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b代入， 原式=2(P-Q)=2(a+3ab+b)-(a-3ab+b) =2(6ab)=12ab。 3小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17，-1，-3，那么小华写出的四个有理数的乘积等于_。答案：-1728。解析：设这四个有理数为a、b、c、d，则有3（a+b+c+d）=15，即a+b+c+d=5。分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3，-12，6，8，所以，这四个有理数的乘积=3(-12)68=-1728。4一种小麦磨成面粉后，重量要减少15%，为了得到4250公斤面粉，至少需要_公斤的小麦。 答案：5000解析：设需要x公斤的小麦，则有x（x-15）=4250 x=5000三、解答题答案：原式化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a1时，答案：3. 液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72，求桶的容量。答案：去分母、化简得7x2-300 x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，4. 6设P是ABC内一点求：P到ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。答案：如图1105所示。在PBC中有BCPBPC， 延长BP交AC于D易证PBPCABAC， 由， BCPBPCAB+AC， 同理 ACPAPCACBC， ABPAPBACAB。 得ABBCCA2(PAPBPC)2(ABBCCA)。所以 。5. 甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离。答案：设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米；依题意得：由得16y2=9x2， 由得16y=249x，将之代入得即 (249x)2=(12x)2解之得于是所以两站距离为98166=168(千米)。 14