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课下层级训练(四十九)抛物线A级基础强化训练1点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2【答案】D分两类a0，a0)，若直线y2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为()Ax28yBx24yCx22yDx2y【答案】C由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则4，得p1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x22y.4(2019山东聊城模拟)过抛物线y24x的焦点F的直线l交该抛物线于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|3，则直线l的斜率为()A1BCD2【答案】D根据|AF|3可知A点到准线的距离为3，故A点的横坐标为2，故纵坐标为2，由AF的坐标解出直线l的斜率k2.5直线l过抛物线x22py(p0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是_【答案】x28y设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|y1y2p2p6，p4.即抛物线方程为x28y.6(2019山东威海模拟)设O为坐标原点，抛物线C：y24x的准线为l，焦点为F，过F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AF|BF|，若直线AO与l相交于D，则_【答案】过F且斜率为的直线方程为y(x1)，与抛物线C：y24x联立解得A(3,2)，B，则直线AO方程为yx与准线l：x1的交点D，因此.7(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_【答案】2方法一设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy4(x1x2)，k设AB中点M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)为AB中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2方法二由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90，得0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.8已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标【答案】解(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFAMNFA，kMNFA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2，联立解方程组得x，y，点N的坐标为9(2019河南郑州月考)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()Ay2xBy23xCy2xDy29x【答案】B如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|a，则|BC|2a，由抛物线的定义得，|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，因为|AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，所以633a，从而得a1，因为BDFG，所以.即，解得p，因此抛物线方程为y23x.12已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则实数a的取值范围为_【答案】1，)如图，设C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)，则(x0，ax)，(x0，ax)CACB，0，即(ax)(ax)20，(ax)(1ax)0.xa10，a1.13(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_【答案】6如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.14如图，已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若y1y28，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值【答案】(1)解设直线AM的方程为xmyp，代入y22px得y22mpy2p20，则y1y22p28，得p2抛物线C的方程为y24x(2)证明设B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知y3y42p2，y1y3p2又直线AB的斜率kAB，直线MN的斜率kMN，2故直线AB与直线MN斜率之比为定值15(2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围. 【答案】(1)证明设P(x0，y0)，A，B因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴(2)解由(1)可知，所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0)因为x1(x00)，所以y4x04x4x044,5，因此，PAB面积的取值范围是 7
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