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高等数学试卷（B卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩: 一、填空题（）1、的定义域是_ 2、3、4、如果函数，在处有极值，则5、二、单项选择题（）1、当时，下列变量中与等价的无穷小量是（ ）A . B . C . D . 2、。A BC D 3、设在上函数满足条件则曲线在该区间上（ ） A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的4、设函数具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 5、反常积分（ ） A. 发散 B. 收敛于1 C. 收敛于 D. 收敛于三、算题（）1、求极限 2、求3、求曲线在当处的切线方程和法线方程4、已知函数，计算 5、求积分6、求积分 7、计算曲线与轴围成的图形面积，并求该图形绕y轴所产生的旋转体体积。8、计算星型线的全长. 四、求函数求的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（）五、设, 证明：方程在0,1上有且仅有一根（）六、设f (x)连续, 计算 （） 七、 , 计算：（） 答案：一、 填空题1、（2，3）（3，+） 2、2 3、 4、2 5、二、1、 D 2、A 3、B 4、A 5、C3、 计算题1、解：= 2 42、解：=3、解: 当曲线过点, 由于, 4所以, 当处的切线方程和法线方程分别为: 1 14、 解:解: 令, 则: 1解: 令, 则: 15、 令, =6、解: =7、解:面积 2 体积微分元 1 所求体积 38、解: 弧微分 2弧长 4四、解:1 由上可知:函数的单调增区间为: (-,-2),(2,+); 函数的单调减区间为:(-2,2) 2函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6) 1凹区间为:(0,+),凸区间为:(-,0) 1拐点为:(0,10) 五、证: 构造函数, 函数在0,1上连续,在区间内可导 1,由连续函数的零点定理知,存在在(0,1)内使 2又因为所以函数在(0,1)的零点唯一. 2原命题得证.六、解: 令:, 2=七、解:当 2当高等数学IV1课程考试试卷（A卷） 学院 专业 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七八总分阅卷教师得分得分一、选择题（每小题3 分，共12分）1、设使存在的最高阶数为（ ）(A) (B) (C) (D) 2、函数有极大值点（ ） （A） （B） （C） （D） 3、已知函数的一个原函数是，则（ ） (A) (B) (C) (D) 4、是函数的 （ ）（A）连续点 （B）可去间断点 （C）第一类不可去间断点 （D）第二类间断点得分二、填空题（每小题3 分，共12分）1、函数的图形的拐点是 。2、曲线的渐进线是 。3、设，则 。4、 。得分三、求下列极限（每小题6分，共12分）。1、。2、。得分四、计算下列微分或导数（每小题6分，共18分）。1、，求。2、。3、设 ，求。得分五、计算下列积分（每小题6分，共18分）。1、。2、求。3、。得分六、若，证明不等式（8分）。得分七、 求： (1) D的面积S； (2) D绕轴旋转一周所得的旋转体体积。（10分）得分八、求微分方程的通解（10分）。高等数学IV1统考试题（A）答案及评分标准一、 选择（每题3分，共12分）、B、D、A、C二、 填空（每题3分，共12分）、 4、三、计算下列极限（每小题6分，共12分）。1、解：原式= （2分） （4分） （6分）2、 解：原式= （3分） （3分）四、 求下列导数和微分（每小题6分，共18分）。1、解： （3分） （6分）、解： （2分） （4分）= （6分）、解：解： （3分） （6分） 五、计算下列积分（每小题6分，共18分）。1、解： （3分） （6分）2、解： （6分）3、解：令, (1分)原式= （6分）六、解：即证 ， （1分）令 ， （2分） , （4分）当时, , 且, . （6分） 且 （8分）七、解：解: (1分) (1) D=； (5分)(2) 。 (10分)八、解：首先求对应的齐次方程的通解： （1分） （4分）用常数变易法，把变成，即令 ，则有 （5分） （6分）代入到原方程中得 ，两边积分得 （8分） ，故原方程的通解为 （9分） （10分）高等数学A参考答案及评分标准考试科目：高等数学A 上 考试班级： 考试方式： 闭卷 命题教师：一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题，每题4分，共16分）1已知当时，与是等价无穷小，则常数 。2，则 。3微分方程的通解为 。4 。二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）1如果处处可导，则（ ）。； ； ； 。2函数在处连续，且取得极大值，则在处必有（ ）。； ； 。3若为的一个原函数，则（ ）。； ； ； 。4微分方程的通解是( )。 ； ； ；三、解答下列各题（本大题共2小题，共14分）1（本小题7分）求极限2（本小题7分）设，求。四、解答下列各题（本大题共4小题，共28分）1（本小题7分），求的极值及在上的最值。2（本小题7分） 。3（本小题7分），计算。 7分4（本小题7分）求积分。五、解答下列各题（本大题共3小题，共26分）1（本小题9分）求由曲线，轴及该曲线过原点的切线所围成平面图形的面积。 2（本小题9分）求微分方程的通解。 3（本小题8分）设可导，且，证明。答案：1、 填空题1、 2、 3、 42、 选择题1、 B 2、C 3、D 4、A3、 计算题1、解：= 3分2、解：取对数 2分两边对求导： 5分四、1、解： 2分则，令，解得，所以时，的极大值是；，所以时，的极小值是； 5分，比较得在上的最大值是，最小值是。2、解：令， 5分 3、解： 3分4、解： 4分 五、1、解：设切点为，则切线方程又切线过原点，将代入得切点，则切线 5分 2、解：齐方程的特征方程，特征根齐方程的通解是 4分设非齐次方程的一个特解为，代入原方程解得，故 8分非齐次方程的通解； 3、证明：令，则 3分 8分课程名称： 高等数学A (上) 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。2、考试时间 120分钟。题号一二三四五六七八得分得分评阅人得分一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共18分）1. D ；2 C；3 B；4 B； 5 B；6 A。得分二、填空题（每小题3分，共18分） 1. ；2 2 ；3 4 ；5 ；6 得分三、计算下列各题（每小题5分，共30分） 1. 解： （2分） （4分） （5分）2. 已知可导，求解 （4分） （5分）3. 由方程确定，求.解：两边同时求导得： （2分）对上式两边同时求导得：即：所以： （5分） 4 解： （3分） （5分）5 解：设 （2分） （4分） （5分）6 解： （2分） （4分） （5分）得分四设选择合适的，使得处处可导。（本题6分） 解： 因为在处连续，所以有 即 （3分）又因为在处可导，所以有即 （6分）得分五. 设，常数，证明 （本题6分） 解：设 （2分） 所以单调减少，而，当时， （5分）即 （6分）六 设函数，讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性得分（本题6分） 解： （2分） 在，所以函数在单调减少 （3分） 在，所以函数在单调增加 （4分） ，所以该函数的图形是凹的 （6分）得分七 解微分方程（本题6分） 解 微分方程变形为 （1分） 令 ，则 （2分） 将上式分离变量两边积分得 （4分） 则 即 （6分）八 设曲线上某点处作一切线，使之与曲线以及轴围成的面积为，试求（1）过切点的切线方程（2）有上述所围成的平面图形绕轴一周所得旋转体的体积（本题10分）得分 解：（1）设的坐标为，那么过的切线方程可表示为 （2分）切线与轴的交点，所以所围成的面积为 （5分）所以，即 （6分） （2）平面图形绕轴一周所得旋转体的体积为 （10分）
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