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专题07幂函数与二次函数最新考纲1.了解幂函数的概念2.结合函数yx，yx2，yx3，y，的图象，了解它们的变化情况3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.基础知识融会贯通1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征性质yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象和性质【知识拓展】1幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点(3)当0时，yx在0，)上为增函数；当0时，yx在(0，)上为减函数2若f(x)ax2bxc(a0)，则当时恒有f(x)0，当时，恒有f(x)0.重点难点突破【题型一】幂函数的图象和性质【典型例题】下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A，yx2，yx1Byx3，yx2，yx1Cyx2，yx3，yx1D，yx2，yx1【解答】解：的图象关于y轴对称，应为偶函数，故排除选项C，D由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选：B【再练一题】已知点（2，8）在幂函数f（x）xn图象上，设，则a，b，c的大小关系是（）AbacBabcCcbaDbca【解答】解：点（2，8）在幂函数f（x）xn图象上，f（2）2n8，解得n3，f（x）x3，设，a（）0.33（）0.9（）01，b（）0.23（）0.6（）01，c（）3（log1）30，a，b，c的大小关系是bac故选：A思维升华 (1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键【题型二】求二次函数的解析式【典型例题】已知二次函数f（x）ax2+（b2）x+3，且1.3是函数f（x）的零点（1）求f（x）解析式，并解不等式f（x）3；（2）若g（x）f（sinx），求函数g（x）的值域【解答】解：（1）由题意得，f（x）x2+2x+3，x2+2x+33，即x22x0，x|x0或x2，（2）令tsinx1，1，g（t）t2+2t+3（t1）2+40，4，g（x）0，4【再练一题】已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）f（2）3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间2a，a+1上是单调函数，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由已知，设f（x）a（x1）2+1，由f（0）3，得a2，故f（x）2x24x+3；（2）二次函数的对称轴为x1，2aa+1，即a1，当对称轴在区间的左侧时，函数f（x）在区间2a，a+1上单调递增，即2a1解得a；当对称轴在区间的右侧时，函数f（x）在区间2a，a+1上单调递减，即a+11解得a0，综上，实数a的取值范围为（，0，1）思维升华 求二次函数解析式的方法【题型三】二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象【典型例题】已知A，B分别为函数f（x）x2+2x+1和函数g（x）1图象上的两点，则|AB|的最小值为（）ABCD【解答】解：由于函数g（x）1与函数yx2+2x+1（x1）关于yx对称，又由函数f（x）与g（x）的图象可知，当A，B最近时，点A应在函数yx2+2x+1（x1）上，则|AB|的最小值为函数f（x）或g（x）图象上的点到直线yx距离最小值的2倍，由g（x）l，得x，y1，g（x）图象上的点到直线yx距离最小值即为点（，）到直线yx的距离，其值为，则|AB|的最小值为，故选：B【再练一题】设函数f（x）当x，时，恒有f（x+a）f（x），则实数a的取值范围是（）A（，）B（1，）C（，0）D（，【解答】解：a0时，显然不符题意；当x，时，恒有f（x+a）f（x），即为f（x）的图象恒在f（x+a）的图象之上，则a0，即f（x）的图象右移故A，B错；画出函数f（x）（a0）的图象，当x时，f（）a；而f（x+a），则x时，由a（a）2+aa，解得a（舍去），随着f（x+a）的图象左移至f（x）的过程中，均有f（x）的图象恒在f（x+a）的图象上，则a的范围是（，0），故选：C命题点2二次函数的单调性【典型例题】已知函数f（x）x2+|x+1a|，其中a为实常数（）判断f（x）在，上的单调性（）若存在xR，使不等式f（x）2|xa|成立，求a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）x2+|x+1a|，其中a为实常数；当xa1时，f（x）x2+x+1a，它的图象是抛物线的一部分，对称轴是x，若a，则a1，在x时，f（x）是增函数，f（x）在，上单调递增；若a，则a，f（x）在a1，上是增函数；当xa1时，f（x）x2x1+a，它的图象是抛物线的一部分，对称轴是x，若a，则a1，在x时，f（x）是减函数，f（x）在，上单调递减；若a，则a1，f（x）在，a1上是减函数；综上，a时，f（x）在，上是增函数；a时，f（x）在a1，上是增函数，在，a1上是减函数；a时，f（x）在，上是减函数；（）先求使不等式f（x）2|xa|对xR恒成立时a的取值范围；当xa1时，不等式化为x2x1+a2（ax），即x2+x1a，a；若a1，即a，则a相矛盾；若a1，即a，则a（a1）2+（a1）1，即a22a10，解得a1或a1，a1；当a1xa时，不等式化为x2+x+1a2（ax），即x2+3x+13a，3a；若a1a，即a；若a1，即a，3a（a1）2+3（a1）+1，即a22a10，解得a1或a1；结合条件及得，a1；若a，3aa2+3a+1恒成立；综上，a1；当xa时，不等式化为x2+x+1a2（xa），即a2x+1a；a，得a，即a，结合得a1；使不等式f（x）2|xa|对任意xR恒成立的a的取值范围是a1，本题所求的a的取值范围是a1或a【再练一题】已知函数f（x）ax2|x|+2a1（a为实常数）（1）若a1，求f（x）的单调区间；（2）若a0，设f（x）在区间1，2的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间1，2上是增函数，求实数a的取值范围【解答】解：（1）a1，f（x）x2|x|+1f（x）的单调增区间为（），（，0）； f（x）的单调减区间为（），（）（2）由于a0，当x1，2时，若，即，则f（x）在1，2为增函数g（a）f（1）3a2若，即，若，即时，f（x）在1，2上是减函数：g（a）f（2）6a3综上可得（3）在区间1，2上任取x1、x2，则（*）h（x）在1，2上是增函数h（x2）h（x1）0（*）可转化为ax1x2（2a1）0对任意x1、x21，2且x1x2都成立，即ax1x22a1当a0时，上式显然成立a0，由1x1x24得，解得0a1a0，由1x1x24得，得所以实数a的取值范围是命题点3二次函数的最值【典型例题】【解答】解：（1）当1时，函数y2x22ax+3在区间1，1上是增函数，故当x1时，函数取得最小值是 f（1）2a+5当11时，由于函数y2x22ax+3对称轴是x，故当x时，函数在区间1，1上取得最小值是 f（）3当 1时，函数y2x22ax+3在区间1，1上是减函数，故当x1时，函数取得最小值是 f（1）52a综上可得 f（a）（2）当2a0时，f（a）3在2，0上是增函数，由复合函数的单调性可得函数（a）log0.5f（a）在2，0上是减函数同理可得，数（a）log0.5f（a）在0，2上是增函数【再练一题】已知函数f（x）log2x的定义域是2，16设g（x）f（2x）f（x）2（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值【解答】解：（1）由题意可得g（x），且，进一步得：，且定义域为【2，8】，（2）令tlog2x，则t1，3，h（t）t2+t+1，h（t）在【1，3】递减h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【5，1】，当x8时，g（x）有最小值5，当x2时，g（x）有最大值1命题点4二次函数中的恒成立问题【典型例题】不等式x2+a|x|+40对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A0，+）B4，+）C4，4D（，4【解答】解：f（x）x2+a|x|+4为偶函数；当a0，x0时，函数化为f（x）x2+ax+4，对称轴x0，f（0）40，不等式恒成立；当a0时，x0时，函数化为f（x）x2+ax+4，可得a2160显然成立解得4a0，综上a4，+）故选：B【再练一题】已知对a（，0），x（0，+），不等式x2+（3a）x+32a2kex成立，则实数k的取值范围为（）A（3，+）B3，+）C（4，+）D4，+）【解答】解：由不等式x2+（3a）x+32a2kex成立，即成立，令f（x），则f（x）令f（x）0，可得：x12a1，x2a，a（，0），x12a10，x2a0x（0，+），当x（0，a），f（x）0，则f（x）在x（0，a）单调递增当x（a，+），f（x）0，则f（x）在x（a，+）单调递减当xa时，f（x）取得最大值为f（a）k，即f（a）k，a（，0），f（a）f（0）k即k3故选：B思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域基础知识训练1若，则ABCD【答案】B【解析】由得：则指数函数单调性可知：由幂函数单调性可知：综上所述：本题正确选项：2用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为A4B5C6D7【答案】B【解析】如图所示：则的最大值为交点的纵坐标，由，得即当时，故选：B3已知，则x等于ABCD【答案】A【解析】由题意，可知，可得，即，所以，解得故选：A4三个数acos，blg，c之间的大小关系是（）ABCD【答案】D【解析】acos（0，1），blg0，c1，bac故选：D5在同一直角坐标系中，的图像可能是（）ABCD【答案】B【解析】因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项；的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B6函数的图像必经过点（ ）A（0,2）B（4,3）C（4,2）D（2,3）【答案】B【解析】令，所以，因此函数过点（4,3）.故选B7函数在区间上的最小值是A B C D4【答案】B【解析】结合指数函数的性质可知在该区间单调递减,故当取到最小值,为,故选B.8函数的单调递减区间是( )A B C D【答案】D【解析】设tx22x3，则函数在（，1上单调递减，在1，+）上单调递增因为函数在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+）故选：D9不等式的解集是( )A B C D【答案】D【解析】因为y2x在R上是增函数，所以2x73所以不等式的解集是x|x3，故选D.10如图，在四个图形中，二次函数与指数函数的图像只可能是（ ）A BC D【答案】C【解析】根据指数函数y（）x可知a，b同号且不相等，则二次函数yax2+bx的对称轴0可排除B与D，又二次函数，当x=0时，y=0，而A中，x=0时，y0，故A不正确故选C11若函数的最大值为2，则实数的值为（ ）A-1 B-2 C-3 D-4【答案】A【解析】解：函数f（x）3|x|m是偶函数，x0时，函数是减函数，函数的最大值为：1m2，解得m1故选：A12已知，若对任意，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】g（x）2，当x时,恒成立，当x时，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0，f（x）m（x2m）（x+m+3）0在x时恒成立，即m（x2m）（x+m+3）0在x时恒成立，则二次函数ym（x2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧，即，解得m0，实数m的取值范围是：（，0）故选C13计算_【答案】8【解析】故答案为：814函数的值域是_【答案】【解析】因为单调递增，所以的值域为，的值域为（1，+）故答案为：（1，+）15某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为_元【答案】2400【解析】12年后的价格可降为81002400元故答案为240016函数的图象恒过定点, 点在幂函数的图象上，则=_.【答案】27【解析】当时，函数，故，设幂函数，则，解得，故.17已知定义在R上的函数f（x）=3x（1）若f（x）=8，求x的值；（2）对于任意的x0，2，f（x）-33x+13-m0恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）x=2（2）m【解析】（1）f（x）=3x=8，即（3x）2-83x-9=0，解得：x=2；（2）原式转化为f（x）-33x+13m，令g（x）=f（x）-33x+13=（3x）2-33x+4，令t=3x，由x0，2，则t1，9，故y=t2-3t+4，当t=时，y取最小值，故m18已知奇函数的定义域为-1,1，当时，。（1）求函数上的值域；（2）若时，函数的最小值为-2，求实数的值。【答案】（1）；（2）【解析】（1）设x（0，1，则x1，0）时，所以f（x）2x又因为f（x）为奇函数，所以有f（x）f（x），所以当x（0，1时，f（x）f（x）2x，所以上的值域为（1，2，（2）由（1）知当x（0，1时，f（x）（1，2，所以f（x）（，1令tf（x），则 t1，g（t）f2（x）f（x）+1t2t+1，当，即1时，g（t）g（），无最小值，当1，即12时，g（t）ming（）12，解得2 （舍去）当1，即2时，g（t）ming（1）2，解得4，综上所述，419设函数 且 .（1）若，求不等式的解集；（其中单调性只需判断）（2）若，且上恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）-2【解析】（1），又，所以所以单调递增，单调递减，故在R上单调递增，又 是R上的奇函数，由 . （2），解得（舍）或，则令， ,恒成立，即上恒成立,即上恒成立,而 m的最大值为.20已知函数的定义域为，且对任意的. 当时，.（1）求并证明的奇偶性；（2）判断的单调性并证明；（3）求；若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0,证明见解析，为奇函数；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【解析】（1），又因为的定义域为R关于原点对称，所以为奇函数.（2），因为，所以单调递增.（3），若，f（，由（2）知单调递增，所以，.能力提升训练1下列各式正确的是（ ）A BC D【答案】D【解析】对于A，a，当a为负数时等式不成立，故A不正确；对于B，a01，当a0时无意义，故B不正确；对于C，左边为正，右边为负，故C不正确；对于D，故D正确故选：D2函数图象恒过的定点是A B C D【答案】B【解析】由题意，函数，令，解得，的图象过定点故选：B3若=8，y=log217，z=（）-1，则（）A B C D【答案】D【解析】由，则，而，故，答案为D.4设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为（）A B C D【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以的定义域为，故选A5下列函数中，满足“”的函数是ABCD【答案】C【解析】不恒成立，选项A不满足；选项B不满足；选项C满足；选项D不满足；故选：C6函数，若不等式恒成立，则t的取值范围是A B C D【答案】A【解析】解：由，可得，递增，且，不等式，即为恒成立由上递增，可得时，取得最大值，即有，的取值范围是故选：A7已知实数，则以下不等式中恒成立的是A B C D【答案】A【解析】因为是增函数，所以由可得，选项正确；当时，不成立，选项错误；因为是减函数,由可得，选项错误，时，不成立，选项错误，故选A8已知函数，记解不等式：；设k为实数，若存在实数，使得成立，求k的取值范围；记 (其中a，b均为实数)，若对于任意的，均有，求a，b的值【答案】(1) (2) (3)【解析】函数，即为，即为，即有，解得，即解集为；存在实数，使得成立，即为，设，在递增，可得，即有，则，设，即有，在递增，可得，即有.，令，若对于任意的，均有，即对任意，解得：9已知关于的函数，其中.（）当时，求满足的实数的取值范围；（）若当时，函数的图象总在直线的上方，求的整数值.【答案】（）；（）.【解析】（）当时，, 即故实数的取值范围是 （）上恒成立, 即上恒成立. 因为函数上均为单减函数，所以上为单增函数，最大值为. 因此解得.故实数的整数值是.10已知是偶函数.（1）求的值;（2）解关于不等式;（3）求函数的值域.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因为是偶函数,所以;又对任意实数恒成立,因此（2）因为的导数且当时,恒成立所以上是增函数;又因为是偶函数又两边平方可得,即不等式的解集为 （3）函数令,由可知,.所以由可得所以函数的值域是.28
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