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二极坐标系课时过关能力提升基础巩固1将点的极坐标(,-2)化为直角坐标为()A.(,0)B.(,2)C.(-,0)D.(-2,0)解析因为x=cos(-2)=,y=sin(-2)=0,所以点的极坐标(,-2)化为直角坐标为(,0).答案A2下列各点中与极坐标5,7表示同一个点的是()A.5,67B.5,157C.5,-67D.5,-7答案B3在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-3).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是()A.2,3B.2,43C.2,-3D.2,-43解析因为=x2+y2=2,tan=-3,且在平面直角坐标系中,点P位于第四象限,所以点P的极坐标可以是2,-3.故选C.答案C4在极坐标系中,已知A2,6,B6,-6,则OA,OB的夹角为()A.6B.0C.3D.56解析如图,OA,OB的夹角为3.答案C5在极坐标系中,点A的极坐标是3,6,则(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是;(2)点A关于极点的对称点的极坐标是;(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是.(本题中规定0,0,2)答案(1)3,116(2)3,76(3)3,566已知点A3,43,则适合0,-0,-时,根据43与-23是终边相同的角,可得满足题意的点A的极坐标为3,-23.答案3,-237点M6,56到极轴所在直线的距离为.解析依题意知点M6,56到极轴所在直线的距离为d=6sin56=3.答案38已知在极坐标系中,极点为O,00,0,2)时,点P的极坐标为.解析点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到x轴的距离为2,x=-2,且y=-2.=x2+y2=22.又tan=yx=1,且0,2),=54.点P的极坐标为22,54.答案22,5410(1)已知点的极坐标分别为A3,-4,B2,23,C32,D4,32,求它们的直角坐标;(2)已知点的直角坐标分别为A(6,2),B0,-53,C(-2,-23),求它们的极坐标(0,02).解(1)根据x=cos,y=sin,得A322,-322,B(-1,3),C-32,0,D(0,-4).(2)根据2=x2+y2,tan=yx(x0),结合各点所在的象限得A22,6,B53,32,C4,43.能力提升1若1=20,1-2=,则点M1(1,1)与点M2(2,2)的位置关系是()A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.重合答案B2在极坐标系中,已知点P2,3和点Q23,56,则线段PQ的中点M的极坐标是()A.2,3B.2,23C.1+3,712D.1+3,512解析P2,3,x=2cos3=1,y=2sin3=3,P(1,3).Q23,56,x=23cos56=-3,y=23sin56=3,Q(-3,3).线段PQ的中点M的直角坐标为(-1,3).2=(-1)2+(3)2=4,=2,tan=3-1=-3,=23.中点M的极坐标为2,23.答案B3已知两点的极坐标A3,2,B3,6,则|AB|=,直线AB的倾斜角为.解析根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,AOB=3,即AOB为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3,ACx=56(O为极点,C为直线AB与极轴的交点).答案3564在如图所示的极坐标系中,若O为极点,则点P的极坐标为.(0,00,02).解由题意知,|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=2,xOA=4,xOB=34,xOC=54,xOD=74.所以正方形的各顶点的极坐标分别为A2,4,B2,34,C2,54,D2,74.7在极坐标系中,已知三点M2,53,N(2,0),P23,6.(1)将M,N,P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M,N,P三点是否在同一条直线上.解(1)由公式x=cos,y=sin,得点M的直角坐标为(1,-3),点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,3).(2)因为kMN=32-1=3,kNP=3-03-2=3,所以kNP=kMN.故M,N,P三点在同一条直线上.8某大学校园的部分平面示意图如图.用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门、器材室、操场、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园,其中ODEF为正方形,OACD为长方形,|OC|=600 m.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标(限定0,02).解以点O为极点,OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m),建立极坐标系.由|OC|=600m,AOC=6,OAC=2,得|AC|=300m,|OA|=3003m.同理,得|OE|=2|OG|=3002m,所以各点的极坐标分别为O(0,)(02),A(3003,0),C600,6,D300,2,E3002,34,F(300,),G1502,34.9已知点A,B的极坐标分别为3,4和3,1312,求点A和点B之间的距离.解A,B两点在极坐标系中的位置如图所示.则由图可知AOB=1312-4=56.在AOB中,|AO|=|BO|=3,所以由余弦定理,得|AB|2=|OB|2+|OA|2-2|OB|OA|cos56=9+9-29-32=18+93=92(1+3)2.所以|AB|=36+322.
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