2020届高考数学一轮总复习 第三单元 导数及其应用 第20讲 导数的实际应用及综合应用练习 理（含解析）新人教A版

第20讲导数的实际应用及综合应用1某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 (1)因为当x5时，y11，所以10(56)211，解得a2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y10(x6)2(3x6)，所以该商场每日销售该商品所获得的利润f(x)10(x6)2(x3)210(x3)(x6)2(3x6)，所以f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x4时，f(x)max42.答：当销售价格定为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大2请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)若广告商要包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 (1)根据题意，有S4x(602x)8(x15)21800(0x30)所以x15时，包装盒侧面积S最大(2)根据题意，有V(x)2(602x)2x2(30x)(0x30)所以V6x(20x)当0x0，V单调递增；当20x30时，V0，V单调递减所以当x20时，V取极大值，也是最大值此时，包装盒的高与底面边长的比值为，即x20时，包装盒容积V(cm3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.3(2017全国卷)已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22. (1)f(x)的定义域为(0，)设g(x)axaln x，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0.因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1.若a1，则g(x)1.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，a1.(2)由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.设h(x)2x2ln x，则h(x)2.当x(0，)时，h(x)0.所以h(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增又h(e2)0，h()0；当x(x0,1)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0(0，)得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)22.4(2018华南师大附中模拟)函数f(x)x2mln(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x12x1ln 2. f(x)的定义域是(1，)，f(x)，(1)由题设知，1x0，令g(x)2x22xm，这是开口向上，以x为对称轴的抛物线，g()m，当g()0，即m时，g(x)0，即f(x)0在(1，)上恒成立当g()0，即m时，由g(x)2x22xm0得x，令x1，x2，则x1.1)当g(1)0即m0时，x11，故在(1，x2)上，g(x)0，即f(x)0，即f(x)0.2)当g(1)0时，即0m000f(x)000f(x)递增递减递增综上：m0时，f(x)在(1，)上单调递减，在(，)上单调递增；0m时，f(x)在(，)上单调递减，在(1，)和(，)上单调递增；m时，f(x)在(1，)上单调递增(2)证明：若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，则必是0m0，则1x1x20，且f(x)在(x1，x2)上递减，在(1，x1)和(x2，)上递增，则f(x2)x12x1ln 2成立，只需证2f(x2 ) 2x 2mln(1 x2 ) 2x 4x1 x2 ln(1 x2 )2x4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )(1x2)2(1x2)ln 21x22(1x2)ln 2.即证2x4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )(1x2)(12ln 2)0对x20恒成立，设(x)2x24(1x)xln(1x)(1x)(12ln 2)(x0)，(x)4(12x)ln(1x)ln，当x0，ln(1x)0，故(x)0，故(x)在(，0)上递增，故(x)()24()ln(12ln 2)0，所以2x4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )(1x2)(12ln 2)0对x2x12x1ln 2.5