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第30讲正弦定理、余弦定理的综合应用1(2017淮北一中月考)在ABC中，两边的差为2，两边夹角的余弦值为，且三角形面积为14，则这两边的长分别是(D)A3,5 B4,6C6,8 D5,7 不妨设两边为b，c(bc)，则bc2，cos A，则sin A，所以SABCbcsin Abc14.所以bc35.所以b7，c5.2(2019岳阳一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状是(D)A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 由正弦定理得：sin Csin Acos B(2sin Asin B)cos A，即 sin(AB)sin Acos B(2sin Asin B)cos A，得sin Bcos Asin Acos A.当cos A0时，A，此时为直角三角形；当cos A0时，sin Bsin A，即AB或AB(舍)，此时为等腰三角形所以ABC为等腰三角形或直角三角形3在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是(C)A(0， B，)C(0， D，) 由正弦定理及题设条件知a2b2c2bcb2c2a2bc1cos A，所以0A.4如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(C)A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m 如图，ACD30，ABD75，AD60m，在RtACD中，CD60m，在RtABD中，BD60(2)m，所以BCCDBD6060(2)120(1)m.5一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这只船的速度是每小时10海里 如图，可知BMA756015，又MAP30，所以MBA15，所以AMAB10.所以MPAMcos 605，其速度为10(海里/小时)6(2018石家庄一模)如图所示，平面四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部， AB1, BC， ACCD, ACCD，当ABC变化时，对角线BD的最大值为_3_ 设ABC，ACB，则由余弦定理可得AC232cos ，由正弦定理可得sin ， 所以BD2232cos 2 cos(90) 52cos 2sin 54sin(45)，所以135时， BD2有最大值9 , BD取得最大值为3.7(2018石家庄二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan Atan B.(1)求角A的大小；(2)设AD为BC边上的高，a，求AD的取值范围 (1)在ABC中，因为tan Atan B.所以，即，所以，则tan A，所以A.(2)因为SABCADBCbcsin A，所以ADbc.由余弦定理得cos A，所以0bc3(当且仅当bc时等号成立)所以0AD.8(2018郑州一中周测)在ABC中，AB12，C的平分线CD把三角形面积分成3 2两部分，则cos A(C)A. B.C. D0 因为C的平分线CD把三角形面积分成32两部分，所以ACBC32，所以，所以cos A.9(2018华南师大附中模拟)在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，ac3，cos B，则_ 因为a，b，c成等比数列，所以b2ac，又ac3，cos B，由余弦定理，得：aca2c22ac，即ac(ac)22acac，所以ac(ac)22.所以cacos(B)ac2.10(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b. (1)由题设及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362(1)4.所以b2.5
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