2020届高考数学一轮总复习 课时跟踪练（五十九）抛物线 理（含解析）新人教A版

课时跟踪练(五十九)A组基础巩固1(2019黄山模拟)若抛物线y28x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()A(8，8) B(8，8)C(8，8) D(8，8)解析：设P(xP，yP)，因为点P到焦点的距离等于它到准线x2的距离，所以xP8，则yP8，所以点P的坐标为(8，8)故选C.答案：C2O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2 C2 D4解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|x04，得x03，代入抛物线方程得，y4324，所以|y0|2，所以SPOF|OF|y0|22.答案：C3(2019珠海模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|4，则直线AF的倾斜角等于()A. B. C. D.解析：由抛物线y24x知焦点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x1，由抛物线定义可知|PA|PF|4，所以点P的坐标为(3，2)，因此点A的坐标为(1，2)，所以kAF，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.答案：B4(2019河南百校联盟联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|MF|(O为坐标原点)，则()A B.C. D解析：不妨设M(m，)(m0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|MF|，所以解得m，p2，所以，所以2.故选A.答案：A5(2019长沙模拟)已知点P(x0，y0)是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆C：(x2)2(y4)21上的一个动点，则x0|PQ|的最小值为()A21 B2 C3 D4解析：设抛物线y24x的焦点F(1，0)，过点P(x0，y0)作准线l：x1的垂线，垂足为N，则x0|PQ|PN|PQ|1|PF|PQ|1|CF|22523，当且仅当C，P，F三点共线且点Q在线段CF上时取等号，则x0|PQ|的最小值是3，故选C.答案：C6(2019福州模拟)函数yax1(a0且a1)的图象恒过点P，则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是_解析：设抛物线的方程为y2mx(m0)，由题意知点P的坐标为(1，1)，代入y2mx，可得m1，所以焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是y2x.答案：y2x7(2019玉溪模拟)已知F是抛物线yx2的焦点，M、N是该抛物线上的两点，|MF|NF|3，则线段MN的中点到x轴的距离为_解析：抛物线的焦点为，准线为y，过M，N作准线的垂线，垂足分别为M，N，则|MM|MF|，|NN|NF|，所以|MM|NN|MF|NF|3，设线段MN的中点为P，过P作准线的垂线，垂足为P，则|PP|，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP|.答案：8过抛物线y22px(p0)的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点(A在B的上方)，且l与准线交于点C，若4，则_解析：根据题意，设|AF|a，|BF|b，过A，B作准线的垂线，垂足分别为M，N，则有|BF|BN|b，|AF|AM|a，因为4，所以|CB|4|BF|，即|CB|4|BN|，又BNAM，所以|CA|4|AM|，即4bba4a，变形可得，即.答案：9已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2，所以抛物线方程为y24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA.因为MNFA，所以kMN，所以FA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2，由联立得x，y，所以点N的坐标为.10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解：(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由(1)知p4，4x25pxp20可简化为x25x40，又x1x2，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4)设(x3，y3)(1，2)(4，4)(41，42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.B组素养提升11(2019太原模拟)抛物线y28x的焦点为F，设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|BF|AB|，则AFB的最大值为()A. B. C. D.解析：设|AF|m，|BF|n，因为|AF|BF|AB|，所以|AB|2，所以mn|AB|2，在AFB中，由余弦定理得cos AFB，所以AFB的最大值为.故选D.答案：D12(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为()A. B2 C2 D3解析：抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y(x1)联立得方程组解得或因为点M在x轴的上方，所以M(3，2)因为MNl，所以N(1，2)所以|NF|4，|MF|MN|4.所以MNF是边长为4的等边三角形所以点M到直线NF的距离为2.故选C.答案：C13一题多解(2018全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_解析：法一由题意可知C的焦点坐标为(1，0)，所以过焦点(1，0)，斜率为k的直线方程为x1，设A，B，将直线方程与抛物线方程联立得整理得y2y40，从而得y1y2，y1y24.因为M(1，1)，AMB90，所以0，即(y11)(y21)0，即k24k40，解得k2.法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得yy4(x2x1)，从而k.设AB的中点为M，连接MM.因为直线AB过抛物线y24x的焦点，所以以线段AB为直径的M与准线l：x1相切因为M(1，1)，AMB90，所以点M在准线l：x1上，同时在M上，所以准线l是M的切线，切点为M，且MMl，即MM与x轴平行，所以点M的纵坐标为1，即1y1y22，故k2.答案：214抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解：(1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2.联立上述三式，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.8