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仿真模拟卷三本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A(x，y)|xy2，x，yN，则A中元素的个数为()A1B5C6D无数个答案C解析由题得A(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，所以A中元素的个数为6.2已知i是虚数单位，是z的共轭复数，若z(1i)，则的虚部为()A.BC.iDi答案A解析由题意可得zi，则i，据此可得的虚部为.3“0m2”是“方程1表示椭圆”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C解析方程1表示椭圆，即0m2且m1，所以“0mb，则()Aln (ab)0B3a0D|a|b|答案C解析取a2，b1，满足ab，但ln (ab)0，则A错误；由932313，知B错误；取a1，b2，满足ab，但|1|b，所以a3b3，即a3b30，C正确5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()A30B31C62D63答案B解析由流程图可知该算法的功能为计算S121222324的值，即输出的值为S12122232431.6已知等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a22，S6S46a4，则a5()A4B10C16D32答案C解析设公比为q(q0)，S6S4a5a66a4，因为a22，所以2q32q412q2，即q2q60，所以q2，则a522316.7已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF，若1，则的值为()A3B2CD答案B解析由题意可得()()22，且224，22cos1202，故(2)1，解得2.8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，sinAcosC(sinCb)cosA0，则角A()A. B.C. D.答案D解析a1，sinAcosC(sinCb)cosA0，sinAcosCsinCcosAbcosA，sin(AC)sinBbcosA，asinBbcosA，由正弦定理可得sinAsinBsinBcosA，sinB0，sinAcosA，即tanA，A(0，)，A.9我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)的图象大致是()答案D解析因为函数f(x)，f(x)f(x)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除A，B；又因为f(3)，f(4)，所以f(3)f(4)，而C在x0时是递增的，故排除C.10在ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AACBCBABACCABCDBAC答案A解析(直接法)由题意，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，取B(4,0)，则P0(3,0)，设P(a,0)(a0,4)，C(x0，y0)，则(4a,0)，(x0a，y0)，(1,0)，(x03，y0)，则(4a)(x0a)x03，即a2(4x0)a3x030恒成立，所以(4x0)24(3x03)0，即(x02)20，解得x02，则易知点C在边AB的垂直平分线上，所以ACBC，故选A.11在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为()A1B1C1D1答案A解析满足条件的正三角形ABC如图所示设边长为2，其中正三角形ABC的面积SABC4.满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于1的概率P1，故选A.12若存在m，使得关于x的方程xa(2x2m4ex)ln (xm)ln x0成立，其中e为自然对数的底数，则非零实数a的取值范围是()A(，0) B.C(，0) D.答案C解析由题意得ln (t2e)ln t，令f(t)(t2e)ln t(t0)，则f(t)ln t1，令h(t)f(t)，则h(t)0，h(t)为增函数，即f(t)为增函数当te时，f(t)f(e)0，当0te时，f(t)f(e)0，f(t)f(e)e，且当t0时，f(t)，e，解得a0或a，故选C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若变量x，y满足约束条件则z的最小值是_答案2解析画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立解得A(2,2)，z的几何意义为可行域内的点与定点P(3,0)的连线的斜率kPA2，z的最小值是2.14已知三棱锥PABC内接于球O，PAPBPC2，当三棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为_答案12解析由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA，PB，PC两两垂直时，侧面积之和最大此时PA，PB，PC可看成正方体一个顶点处的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R232212，故球的表面积为4R212.15已知ABC的三个顶点的坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(0，2)，O为坐标原点，动点M满足|1，则|的最大值是_答案1解析设点M的坐标是(x，y)，C(0，2)，且|1，1，x2(y2)21，则点M的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆A(0,1)，B(1,0)，(x1，y1)，则|，其几何意义表示圆x2(y2)21上的点与点P(1，1)间的距离又点P(1，1)在圆C的外部，|max|111.16函数yf(x)的定义域为D，若xD，a1,2，使得f(x)ax恒成立，则称函数yf(x)具有性质P，现有如下函数：f(x)ex1；f(x)2cos21(x0)；f(x)则具有性质P的函数f(x)为_(填序号)答案解析设(x)ex1x(xR)，则(x)ex11.当x1时，(x)0；当x1时，(x)b0)，离心率e，A是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，|AF|1，直线m：x4.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过点F与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线m交于M，N两点，试问：以MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由解(1)由题意，得解得又a2b2c2，b，故所求椭圆方程为1.(2)当直线l斜率存在时，设直线l：yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PA：y(x2)令x4，得M，同理N.则以MN为直径的圆的方程为(x4)(x4)0，整理得，(x4)2y22ky4k20由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2.将代入，整理得，x2y28xy70.令y0，得x1或x7.当直线l斜率不存在时，P，Q，M(4，3)，N(4,3)，以MN为直径的圆为(x4)2y29也过点(1,0)，(7,0)两点综上，以MN为直径的圆能过两定点(1,0)，(7,0)21(本小题满分12分)已知函数f(x)axb，g(x)ax2bx.(1)当a2，b3时，求函数f(x)在xe处的切线方程，并求函数f(x)的最大值；(2)若函数yf(x)的两个零点分别为x1，x2，且x1x2，求证：g1.解(1)当a2，b3时，f(x)x3(x0)，f(x)，则f(e)1，切点为，故函数f(x)在xe处的切线方程为xy30.令h(x)1ln xx2，则h(x)1ln xx2在(0，)是减函数，又h(1)0，x(0,1)，h(x)0，f(x)0，x(1，)，h(x)0，f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数f(x)maxf(1)2.(2)证明：x1，x2是f(x)的两个零点，不妨设x1x2，f(x1)f(x2)0.即ax1b0，ax2b0，ln x1axbx10，ln x2axbx20，相减得ln x1ln x2a(xx)b(x1x2)0a(x1x2)b0a(x1x2)2b(x1x2)0a2b0.gg，令t，即证0t1，1ln tln t0，m(t)ln t在(0,1)上是增函数，又m(1)0，t(0,1)时，m(t)0)与C1，C2的公共点分别为A，B，当4时，求的值解(1)曲线C1的极坐标方程为(cossin)1，即sin.曲线C2的普通方程为(x2)2y24，即x2y24x0，所以曲线C2的极坐标方程为4cos.(2)由(1)知，|OA|A，|OB|B4cos，4cos(cossin)2(1cos2sin2)22sin，4，22sin4，sin，由0，知25的解集；(2)若关于x的不等式|b2a|2ba|a|(|x1|xm|)(a0)能成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)|x2|2x1|故f(x)5的解集为(2,8)(2)由|b2a|2ba|a|(|x1|xm|)(a0)能成立，得|x1|xm|能成立，即|x1|xm|能成立，令t，则|t2|2t1|x1|xm|能成立，由(1)知，|t2|2t1|，又|x1|xm|1m|，|1m|，实数m的取值范围是.- 15 -
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