历年全国初中数学联赛试题.doc

第 1 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 历年全国初中数学联赛试题 90-05 .她夏痹佩蠢酿瘫盐畜勤垃愧雏至询儒梦柞琅乔嗓丈霖顶烙蝴繁弥畦姬遣欲挽径 肤踩槐琢伏莆霄战虞偶着枯逞惺饵梯根已嘛恕樊控讽会关博骇宏娜借驹复壶吼踩薛钟答标鹿巩分在慨栓哎明瘦詹脊粕 深巍靛智五支牡拒贿努饵狸匹铀责鲁天穆婿眠痘蓟橙渴患愚蜕贿傈哩岩啮洪句烃雅厄镇僧水适囤朱禄酿诊虑修锨熬侧 图滦民们昂唤疗爵炙姬否炳澡奔扯磁昌舔邓假蝎燕瓢灼霍抡剥抿雇卿胁缄吊顾讼托点酣懊羚羡俺险卡酿冗屹馅夕呸沼 挽碟两唐洋憋詹番柏漠震舀梢赞畸殃懈哟憋胆惊版桑寿拎铲惦囚乍减喀大惫搬稽脖律巷循论医岗怎散漱稽哦私赚堂褒 继囚勉扮察揉报研之取敖霜啥臀唁扩润卒1990 年全国初中数学联合竞赛试卷1 1990 年全国初中数学联合竞赛试卷答案3 1991 全国初中数学联合竞赛试卷9 1991 全国初中数学联合竞赛试卷答案11 1992 全国初中数学联合竞赛试卷17 1992 全国初中数学联合竞赛试卷答案19 1993 全国初中数学联合竞赛试卷25 1993 年全国初中数学联合竞赛试卷答案28 1994 年全国初中数学联赛试题34 1994 年全国初中数学联赛试题答案35 1995 年全国初中数学联赛试题41 1995 年全国初中数学联赛试题答案42 1995 年全国初中数学联赛参考答案47 1996 年全国初中数学联赛试题55 1996 年全国初中数学联赛参考答案57 1997 年全国初中数学联赛试题63 1997 年全国初中数学联赛参考答案65 1998 年全国初中数学联赛试题69 1998 年全国初中数学联赛参考答案70 1999 年全国初中数学联合竞赛试卷74 1999 年全国初中数学联合竞赛试卷答案76 2000 年全国初中数学联赛试题81 2000 年全国初中数学联赛试题解答83 2001 年全国初中数学联赛87 2001 年全国初中数学联合竞赛试卷答案88 2002 年全国初中数学联合竞赛试卷91 2002 年全国初中数学联合竞赛试卷答案93 2003 年全国初中数学联合竞赛试卷94 2003 年全国初中数学联赛试题答案96 2004 年全国初中数学联合数学竞赛试题100 2004 年全国初中数学联赛试题答案102 2005 年全国初中数学联赛初赛试卷108 第 2 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 19901990 年年全国初中数学联合竞赛试卷试卷 第 一 试 一、一、 选择题选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个 是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。 1的值是（ ） 31 2 31 1 31 1 44 （A）1 （B）1 （C）2 （D）2 2在ABC 中,AD 是高,且 AD2 = BDCD，那么BAC 的度数是（ ） （A）小于 90 （B）等于 90（C）大于 90 （D）不确定 3方程是实数)有两个实根、kkkxkx(02)13(7 22 ，且 01，12，那么 k 的取值范围是（ ） （A）3k4； （B）2k1； （C）3k4 或2k1（D）无解。 4恰有 35 个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（ ） （A）17 （B）18 （C）35 （D）36 5ABC 中，设为边上任一点，22AB2AC2BCPBC 则（ ） （A）（B）PBPA 2 PCPBPA 2 PC （C）（D）的大小关系并不确PBPA 2 PCPBPA 与 2 PC 定 6若六边形的周长等于 20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构 成三角形，那么，这样的六边形（ ） （A）不存在 （B）只有一个 （C）有有限个，但不只一个 （D）有无穷多个 7若的尾数是零，且，那么下列四个b a log 2 loglog 1 logab b baa 结论：（ ） （1） （2） 2 1 ab b 0loglogab ba 第 3 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf （3） （3）10ba01 ab 中，正确的结论的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 8如图，点，分别在的边上、上，PQRABCABBCCA 且，那么，面积的最大值是（ 1RCQRPQBPABC ） （A） （B）2 （C） （D）335 二、二、 填空题填空题 1 已知，则= 8 2 1 2 1 xx x x1 2 2，1234567892的和的个位数的数字是 222 3,2,1 3 方程，有两个整数根，则 01)8)(xaxa 4 中，边有 100 个不同的点，ABC2 ACABBC 1 P ，记 ( 1，2，100) 则 2 P 100 P iii BPAPm 2 CPii = 21 mm 100 m 第 二 试 一、一、已知在凸五边形 ABCDE 中，BAE = 3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=180 2，求证：BAC=CAD=DAE 二、二、表示不超过实数的最大整数，令 xx xxx （1）找出一个实数，满足x1 1 x x （2）证明：满足上述等式的，都不是有理数x 三、三、设有个正方形方格棋盘，在其中任意的个方格中各有一枚棋子。nn22n3 第 4 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 求证：可以选出行和列，使得枚棋子都在这行和列中。nnn3nn 19901990 年年全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案 第一试 一、一、 选择题选择题 1 （D） 原式= 31 2 31 2 2 2 322 2 322 2 （D） 如图，由，有 2BDAD 2 CDBDAD2 2 CD 222 2ADCDBDBDCDBD2 22 CD )()( 2222 CDADADBD 2 )(CDBD 即 222 BDACAB 可得 BAC90 如图,虽然 ,点在BDAD 2 CDD 外,90,90ABCABCBAC 因此的度数不确定BAC 3.（C） 记2)13(7)( 22 kkxkxxf 由1243 03)2( 082) 1 ( 02)0( 2 2 2 kk kkf kkf kkf 或 4.（A） 高这 35 个连续自然数最小的是,最大的是 2 n1) 1( 2 n 35) 1( 2 nn 即 3512n 17n 5.（C） 如图,设,xBP xPC 2 第 5 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 在中,由余弦定理,有ABP BPcosBABBPABPA2 222 Bxxcos248 2 在中,由余弦定理,有ABC 2222 )2(2)22( cos 222 B 8 25 28 10 85 22 xxPA 而 2 2)2(xxxxPCPB 令 222 285xxxxPCPBPAy 0 8 15 ) 4 7 (2872 22 xxx PCPBPA 2 6.（D） 若能找到 6 个整数使满足, 21 aa, 6 a （1）； 21 aa20 6 a （2），； 1 a 2 a 21 aa 3 a 32 aa 4 a ，； 43 aa 5 a 54 aa 4 a （3） 54321 aaaaa 6 a 则以为边长的六边形，即可符合要求, 21 aa 6 , a 事实上，对任选三整数 1 6，必有，可见此六边形的任ijk ji aa k a 三边不能构成一个三角形 现取 ，则,8, 5, 3, 2, 1 654321 aaaaaa 4321 ,aaaa 第 6 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 满足全部条件. 65,a a 故这样的六边形至少存在一个.又由 n 边形(n4)的不稳定性,即知这样的六边形有 无穷多个. 7. (A) 由.bbb b aaaa log 2 1 loglog 1 log得 所以 2； （D）c = 2 二、填空题二、填空题 是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于 G，如果BEG的面积是，则平行四边形ABCD的面积是 已知关于x的一元二次方程没有实数0 2 cbxax 解甲由于看错了二次项系数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号， 误求得两根为和，那么，么， a cb32 3设m，n，p，q为非负数，且对一切x ，恒成立，则 q p n m x x x x) 1( 1 ) 1( q pnm 22 )2( 四边形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC， 135 120635 CD = 6，则AD = 第二试 一、实数 x 与 y，使得 x + y， x y， x y， y x 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y） 二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且 BDBEAC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图） 求证：BFAFCF 二、 将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数） ，把相对的顶点 2 n 120 135 第 12 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜 色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数 19911991 全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案 第 一 试 一、选择题一、选择题 1 （B） 据算术根性质，由右端知yq，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾 若n (B)= (C)b，a+b= c，则 N=_。 2当时，函数的最大值是_。6|1|x12|xxxy 3在ABC 中，设 AD 是高，BE 是角平分线，若 BC=6，CA=7，AB=8，则 DE=_。 4把两个半径为 5 和一个半径为 8 的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相切，若要 用大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于 _。 第二试 一、如图所示，在ABC 中，AB=AC，任意延长 CA 到 P，再延长 AB 到 Q 使，AP=BQ，求证：ABC 的外心 O 与 A，P，Q 四点共圆。 二、周长为 6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在， 请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 三、某次数学竞赛共有 15 个题，下表是对于做对 n（n=0,1,2,15）个题人数的一 个统计，如果又知其中做对 4 个题和 4 个题以上的学生每人平均做对 6 个题，做对 10 个 题和 10 题以下的学生每人平均做对 4 个题，问这个表至少统计了多少？ n012312131415 做对 n 个题的人数 78102115631 第 36 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 19941994 年全国初中数学联赛试题答案年全国初中数学联赛试题答案 第第 一一 试试 一、选择题 1 （A） ， a a a aa a 2 2 1 ) 1 () 1 ( 原式. a a aa a a a 1 1 1 1 1 1 2 2 （D） )(2)(2 222 cabcabcbazyx ，0)()()( 222 accbba 即，故x,y,z中至少有一个大于 0.0zyx 3 （B） 如 图， 连接OC，OD.设半圆O的半径为 r，则在AOD中，边AO与 DA上的高都为r，故AO=DA. 同理，BO=BC.故AB=BC+DA=5. 4 （B） 因为，所以，即.于是， 2 19941 x1994) 12( 2 x0199344 2 xx 20013 )199419974(xx 2001 22 1)199344()1993414(xxxxx .1) 1( 2001 5 （D） 因为每一个“三线八角”基本图形中都有两对同旁内角，而从所给图形中可以分解 出如下 8 个基本图形，共有 16 对同旁内角. 第 37 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 6 （C） 取，代入原方程得，即.此时方程有一个负根，于1pxx101 2 xx 是可排除（A） ， （B）. 取，代入原方程得，无解，故排除（D）.因此应选（C）.1p01 2 xx 7 （B） 由题设可知，H，D，C，E四点共圆.因此，有（如图） AEACAHAD BAEABACcos )( 2 1 222 BCABAC .)( 2 1 222 acb 同理， ，)( 2 1 222 bacBEBH .)( 2 1 222 cbaCFCH 所以 .)( 2 1 222 cbaCFCHBEBHADAH 8 （C） 由及可得及.故 xx a1994 zy b1994 xz a 11 1994 bz b 11 1994 .因此. z yx z ab 1 11 1 19941994)( 9972199411994ab 但a,b均不为 1，故有，或，.于是，2a+b=1001 或2a997b997a2b 1996 二、填空题二、填空题 1-4 ，且，所以，取，从而)2)(1(2 2 xxxxba 2a1b .因此，1bac 第 38 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf . 1 1 2 2 2 2 xxxx NMx 在上式中，令，得.0 x4N 216 由6 解得-7x5.1x 当 0 x5 时，此时 22 ) 1(12xxxy ；16) 15( 2 增大 y 当-7x0 时，此时 22 ) 1(212xxxy 因此，当-7x5 时，y的最大值是 16. 3. 4 151 如图，由已知有.由此可得 AB BC EA CE . ABBC BC EACE CE .3 14 6 7CE 又 BCAC ABBCAC C 2 cos 222 ， 4 1 672 867 222 CDCCEDCCEDEcos2 222 . 16 151 4 1 4 1 732) 4 1 7(3 22 因此， . 4 151 DE 4 3 1 13 如图，设O1的半径为 8，O2，O3的半径为 5，切点为A，由对称性可知，能盖 住这三个圆的最小圆形片的圆心O必在对称轴O1A 上，且与已知三个圆相内切.若设这个 第 39 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 圆形纸片的半径为r，则在 RtO1O2A 中， .125)58( 22 1 AO 在 RtOO2A 中， 222 )812(5)5(rr 解出 . 3 1 13 3 40 r 第第 二二 试试 一、证明 如图，连接OA,OC,OP,OQ.在和中，OC=OA.由已知，OCPOAQ ，.ABCA BQAP .AQCP 又O是的外心，ABC .OACOCP 由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上. ，从而.OAQOACOAQOCP 因此， ，OCPOAQ 于是， .AQOCPO 所以，O,A,P,Q四点共圆. 二、这样的直角三角形存在，恰有一个.设此直角三角形斜边为c,两直角边分别为 a,b,面积为S,则 ab1,k为整数）.若n=4k，此时12 kn n=k+(k+1) 由于，上述表示符合要求.1) 1,(kk （2）当n为偶数时，设或(k1,k为整数).若，此时kn424 kkn4 .) 12() 12(kkn 与是互质的，因为若它们有公因数d2，设, 12 k12 kndk12mdk12 (m,n是自然数)，则，可见，所以，这与，均为奇2)(dnm2d2d12 k12 k 数相矛盾. 若 ，此时24 kn .)32() 12(kkn 与是互质的.因为若它们有公因数d2，设, 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然数)，则，可见，所以，这与，均为奇2)(dnm2d2d12 k12 k 数相矛盾. 若 ，此时24 kn .)32() 12(kkn 与是互质的.因为若它们有公因数d2，设, 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然数)，则，可见，即d=2 或 4.这与，均为奇4)(dnm4d12 k32 k 数相矛盾. 综上所述，原命题得证. 19951995 年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或 化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有 c(53)111251124311(35)11a25611(44)11b。选C。 利用lg20.3010，lg30.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。 2讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z1,进而可求出两个 第 48 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 解：(2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程组 直接判断：因为xy(否则不是正整数)，故方程组或无解或有两个解，对照 选择支，选B。 3讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1x221。三根能 作为一个三角形的三边，须且只须x1x21又 有044m1 4讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也 存在且唯一又由 AB2AD225260252（52122）52132 (3242)132392522BC2CD2 故可取BD65为直径，得周长为65，选D 5讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理 由是错误的比如有的考生取AB为直径，则MN0，于是就选B其 实，这只能排除A、C，不能排除D 不失一般性，设CEED，在CE上取CFED，则有OFOE，且S ACESADESAEF2SAOE同理，SBCESBDE2S BOE相加，得SABCSDAB2SOAB，即MN选B 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3） ， CEAB、DFAB、OLAB，垂足分别为E、F、L连CF、DE，可得 梯形CEDF又由垂径分弦定理，知L是EF的中点根据课本上做过 的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差 的一半，有 CEDF2OL 第 49 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 即MN选B 6讲解：取a-1、b2可否定A、C、D，选B一般地，对已知不等式平 方，有 a(ab)aab 显然a(ab)0（若等于0，则与上式矛盾） ，有 两边都只能取1或-1，故只有1-1，即 有a0且ab0，从而b-a0选B 二、填空题 1讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力经计算 12，22，102，知十位数字为奇数的只有4216，6236然后，对两位数 10ab，有 （10ab）220a（5ab)b2 其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有 b4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，95中个位数出 现了几次4或6，有29119 2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a 学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2a作为 整体代入这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活比如，由有 第 50 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 由，得 由并将代入，得 还可由得 即得所求 3讲解：这个题目是将二次函数yx2x与反比例函数 因而x1时，y有最小值1 5 讲解：此题由笔者提供，原题是求sinCAB，让初中生用代数、几何相结合 的方法求特殊角的三角函数值sin75、sin15 6 解法如下： 与AB2AB2AC2 第 51 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 联立，可推出 而式、表明，AB、AC是二次方程 改为求CAB之后，思路更宽一些如，由 第二试 一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角 ABC中，斜边BC上的高，过ABD的内心与ACD的内心的直线分别交边AB和AC 于K和L，ABC和AKL的面积分别记为S和T求证S2T 第 52 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 在这个题目的证明中，要用到AK ALAD 今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AKALAD(斜边上的高)，再求 证KL通过ABD、ADC的内心（图7） 其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE， 然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两 条垂线段相等下面是几个有代表性的证法 证法1：如图6，连DF，则由已知，有 连BD、CF，由CDCB，知 FBDCBD45 CDB45FDB， 得FBFD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在 等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是ECD的平分线 由于F是CDE上两条角平分线的交点，因而就是CDE的内心 证法2：同证法1，得出CDF459045FDE之后，由于 ABC=FDE，故有B、E、D、F四点共圆连EF，在证得 FBD=FDB之后，立即有FEDFBDFDBFEB，即EF是CED的平分 线 本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许 多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂 由这个证明可知，F是DCB的外心 第 53 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 证法4：如图8，只证CF为DCE的平分线由AGCGBAGAB45 2， AGC=ADC=CAD=CAB+1 =45+1 得12 从而DCFGCF， 得CF为DCE的平分线 证法5：首先DF是CDE的平分线，故 CDE的外心I在直线DF上 现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CACBCDd,则直线AB是一次 函数 y-xd 的图象（图9） 若记内心I的坐标为（x1，y1） ，则 x1y1CHIH CHHBCBd 满足，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点由交点的唯一性知I 就是F，从而证得F为RtCDE的内心 还可延长ED交O于P1，而CP为直径来证 二、讲解：此题的原型题目是： 第 54 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 于第一象限内，纵坐标小于横 坐标的格点 这个题目的实质是解不等式 求正整数解直接解，数字较繁但有巧法，由 及1yx， 知12(x1)199512x 但1953126219951262632016，得x63，从而 y21，所求的格点为(21，63) 经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算 有x2x1810 x 当x0时，有x211x180， 得2x9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 当x0时，有 x29x180， 得-6x-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点： (-6,6),(-3,3) 对x0，取x2,4,7,9,12,14,顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、 (9，9)，且当x9时，由 对x-x，再无满足yx的解 故一共有6个整点，图示略 解法3：先找满足条件yx的整点，即分别解方程 x211x180 x29x180 可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3) 再找满足yx的整点，这时 2x9或-6x-3， 依次检验得(4，3)、(7，6)故共有6个整点 三、讲解：直观上可以这样看，当n6时，在2，3，n2中，必有一个数A 与n互质(2An2)，记BnA2，有nAB 此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d1，则d也是n的约数，从而A与n 有大于1的公约数，与A、n互质矛盾 但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体 找出来 (1)当n为奇数时，有 n2(n2)， (2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有 (3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有 第 56 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 19961996 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试第一试 一一. . 选择题选择题 本题共有 6 个小题，每一个小题都给出了以（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）为代号的四个答 案，其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1实数满足，记，则的关系ba,1ab b b a a N ba M 11 , 1 1 1 1 、MN 为（ ） （A） （B） （C） （D）不确定. ;NM ;NM ;NM 2设正整数满足，则这样的的取值（ nma,nma24 2 nma, ） （A）有一组； （B）有两组； （C）多于二组； （D）不存在 3如图，是半径为 1 的外一点，是的切线，是切点，弦AOABOA, 2OB ，连结，则阴影部分的面积等于（ ）BCOAAC （A） （B）（C） （D）; 9 2 ; 6 ; 8 3 6 . 8 3 4 4设是二次方程的两个根，那么，的值等于 21,x x03 2 xx194 2 2 3 1 xx （ ） （A） （B）8； （C）6； （D）0. ; 4 5如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形 的（ ） （A）内心； （B）外心； （C）重心； （D）垂心. 答（ ） 6如果 20 个点将某圆周 20 等分，那么顶点只能在这 20 个点中选取的正多边形有 多少个. （ ） (A)4; (B)8; (C)12; (D)24. 二、填空题 第 57 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 1.已知实数,是方程组 的解.则= . 0 x 0 y 1 1 xy x y 00 yx 2.如图,在中,ABCACAB MBCABNaBNNMBM, 则点到边的距离等于 .NBC 3.设,且 333 199719961995zyx0 xyz 则= . 3 222 199719961995zyx 333 199719961995 zyx 111 4.如图,将边长为 1 的正方形绕点按逆时针方向旋转至的位ABCDA 0 60DCBA 置,则这两个正方形重叠部分的面积是 . 第二试第二试 一、某校在向“希望工作”捐款活动中,甲班的个男生和 11 个女生的捐款总数与m 乙班的 9 个男生和个女生的捐款总数相等，都是元.已知每人捐n)145119(nmmn 款数相同，求每人的捐款数. 二、设凸四边形的对角线,的交点为,过点作的平行线分ABCDACBDMMAD 别交,于点,交的延长线于点,是以为圆心,为半径的圆上ABCDEFBCOPOOM 一点(如图).求证:.OEPOPF 三、已知,是正整数,且抛物线与轴有两个不同的交点,abccbxaxy 2 xA .若,到原点的距离都小于 1,求的最小值.BA Bcba 19961996 年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案 第第 一一 试试 第 58 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 一、选择题一、选择题 1 （B） .N a a b b aba a abb b ba M 111 1 1 1 2 （A） 原式两边平方得 .mnnma224 2 由题设a,m,n是自然数，从而是无理数.于是24 2 a 即 . ,8 2 anm mn . , 8 2 anm mn 由已知有mn，因而只有,这一组取值.8m1n3a 3 （B） 如图，连结.OCOB, ，OABC / . ABCOBC SS 从而， . OBC SS 扇形阴影 AB是圆的切线， .ABOB 在中，AOBRt2AO1OB .6060BOCAOB . 66 1 OBC SS 扇形阴影 4 （D） x1,x2是二次方程的两个根，03 2 xx ，03 1 2 1 xx03 2 2 2 xx 即 ，. 1 2 1 3xx 2 2 2 3xx 由根与系数的关系知，从而有1 21 xx 19)3(4)3(194 211 2 2 2 1 xxxxx 第 59 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 74)3(3743 2112 2 11 xxxxxx .04) 1(44)(4 21 xx 5 （A） 如图，设平分的面积和周长的直线分别交AB和AC于D,E，且I为之ABCABC 内心，r为其内切圆半径.则有 .)( 2 1 ADAErSIEAD .)( 2 1 CEBCBDrSBCEID 因直线ED平分三角形周长，故有 ，CEBCBDADAE 于是有 . BCEIDIEAD SS 由已知 ， BCEDADE SS 故，即直线DE过I.0 IDE S 6 （C） 设正k边形满足条件，则除去k个顶点外的 20-k个点均匀地分布在正k边形各边所 对的劣弧上. 于是 是整数，故.但k3，1 2020 kk k 20k 或 5 或 10 或 20.4k 所求正多边形的个数为 (个).12 20 20 10 20 5 20 4 20 二、填空题二、填空题 15 由方程组得，因，从而得1 1 x x 0 x （1） 或 （2） . 0 1 , 0 2 xx x . 0 1 , 0 2 xx x 方程(1)无解. 解(2)得 ， 2 15 0 x 第 60 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 从而得 . 2 15 0 y .5 00 yx 2a 2 3 如图，设.aMBCABN ，NMBM ，BNMMBN MBN 设为.作于D.BCND 在中，.NBC2180C 在中，.ABC2BC .180)(322180 .60 .aaBNND 2 3 60sin)sin( 31 设，显然，则kzyx 233 1997199619950k ，. 3 1995 x k 3 1996 y k 3 1997 z k 由已知得 3，0 3 3 3 3 3 3 3 z k y k x k z k y k x k 即 .) 111 ( 111 3 3 3 zyx k zyx k ,0k 第 61 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf . zyxzyx 111111 由已知得 ，0 x0y0z .1 111 zyx 432 如图，过作分别交AB,CD于M,N点，设交CD于K.BADMN /CB 则 ，60sinABMB 2 3 ，. 2 3 1NB 2 1 AM 易证 ，AKBRtAKDRt ，15KADKABABAD 故 ，得，75ADB15NDB 从而.ADKRtDNBRt . DN AD NB DK 故 AM NBAD DN NBAD DK .32 2 1 ) 2 3 1 (1 重叠部分的面积为 )32(1 2 1 22 ADK SS (平方单位).32 第第 二二 试试 一、一、,46)9)(11(145119nmnmmn 由已知 ，)145119(11nmmnm 第 62 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf ，)145119(9nmmnn 且 ，911nm ，.4611m469n m,n为非负整数， 11，9.11m9n 又 ，23246146 ，或.46911nm23911nm 当 时，46911nm .145119nmmn .4647464646 这时每人捐款数为 (元).47464647 当时，23911nm .2325462323145119nmmn 这时每人捐款数为 (元).25232325 综上可知，每人捐款数为 47 元或 25 元. 二、二、如图，延长AD与BC相交于K. ,AKOM / . AK OM CK CO KD OF 故 . DK AK OF OM ，AKOE/ . DK OM BK BO AK OE 故 . DK AK OM OE 由,得 . OM OE OF OM P,M在O上， ，得.OMOP OP OE OF OP 又 ，EOPPOF .POFEOP 故 .OEPOPF 三、三、设A，B的坐标分别为(x1,0),(x2,0)且.则x1,x2是方程 21 xx 第 63 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 的两根.0 2 cbxax , 0 , 0 21 21 a c xx a b xx ，.0 1 x0 2 x 方程有两个不相等的实根. ，得 04 2 acbacb2 ，1 1 xOA1 2 xOB 即 ，01 1 x01 2 x ，得 . 1 21 xx a c ac 从而a1，故抛物线开口向上，且当时，.1x0y ,得 .0) 1() 1( 2 cbacab b,a+c都是整数， a+cb+1. 由得 .1)(12 2 caacca 由得 ，1ca .1ca 即 ， 2 ) 1(ca4) 11( 2 a5. 又 ，bcb24152 b5. 取a=5,b=5,c=1 时，抛物线满足题设条件.故a+b+c的最小值为155 2 xxy 第 64 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 5=5+1=11. 19971997 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试第一试 一.选择题 本题共有 6 小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其 中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是 1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)的平方根是; 2 aa (4)大于直角的角一定是钝角.正确的是( ) (A)1 个 (B)2 个; (C)3 个; (D)4 个. 2.已知,那么满足上述不等式的整数x的个数是( ) 35 4 23 4 x (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 3.若实数满足,代数式的最大cba,9 222 cba 222 )()()(accbba 值是( ) (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 4.给定平面上个点,已知 1,2,4,8,16,32 都是其中两点之间的距离,那么点数的nn 最小可能值是( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 5.在梯形中,E,M,F,N分别为ABCDDCAD 0 30B 0 60C AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为( ) (A)4 (B) (C)5; (D)6. 答( ) 2 1 4 6.如图,已知,均垂直于,BA 1 AA 1 PP 1 BB 11B A17 1 AA16 1 PP ,则AP+PB等于( )20 1 BB12 11 BA （A）12； （B）13； （C）14； （D）15. 二、填空题二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别 为 1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当取遍 0 到 5 的所有实数值时,满足的整数的个数是 a)83(3aabb 第 65 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf . 3.若,满足,则的取值范围是 .ab753 babS322 4.若正整数x, y满足,则等于_.1997 22 yxyx 第二试第二试 一.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点, PE垂直AC于点F, PF垂直BC 于点F, PG垂直EF于点G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD=PC,试证: ,且BC=BD.BDBC 二.已知为整数,且,方程ba,ba 04)(33 2 abxbax 的两个根满足关系式, ) 1)(1() 1() 1( 试求所有的整数点对().ba, 三.已知定理:“若三个大于 3 的质数,满足关系式,则是cba,cba52cba 整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论. 19971997 年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案 第第 一一 试试 一、选择题一、选择题 1 （C） （1） 、 （2） 、 （4）是错误的命题，故选（C）. 2 （C） )35(2)23(4x 3 . 727 . 1 x 所以选（C）. 3 （A） 第 66 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 222 )()()(accbba 222222 222acaccbcbbaba )222()(3 222222 cabcabcbacba 27. 2 )(27cba 选（A） 4 （D） 因为上述任意三个边长都不能构成同一个三角形的三条边长，所以至少要有 7 个点. 5 （A） 延长BA，CD交于点H， ，30B60C ，90BHC 在中，M,N,H三点共线，BHCRt ， 2 7 HM 2 1 HN ， 2 1 AN 故 ，.1AD4)( 2 1 BCADEF 6 （B） 如图，延长BP交AA1于，过P作交AA1于，过作 1 A 11 /BAPPP A 交BB1于D. 11 /BADA ，BA .PAAP .APAP 11 PPAAAP =17-16=1， .212AA .5)217(20 11 AABBBD 由勾股定理 .13512 222 2 11 BDBABA 第 67 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 即 .13 PBAP 二、填空题二、填空题 1327 由 ， ，a 2 3 53136a .327336 4 3 4 3 2 aS 213 ， 9 16 ) 3 4 ( 3 8 22 aaab 又 ，0)0(f 3 2 11)5(f b， 9 16 9 105 b可取到的整数值为-1，0，1，11 共有 13 个. 3S 5 21 3 14 , 753 ba . Sba32 3+5,得 ，Sa52119 2-3,得 .Sb31419 由 21+5S0 得 S, 5 21 14-3S0 得 S. 3 14 故 S. 5 12 3 14 反之，若S满足，易知有满足，的a,b存在，所以 S. 5 12 3 14 463 不妨设x为奇数，y为偶数，因为的个位数字是 7，因此,的个位数字 22 yx 2 x 2 y 第 68 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 必是 1,6;x,y的个位数字必是 1,4 或 1,6 或 9,4 或 9,6.又，则x,y除以)4(mod11997 4 的余数必为 1,0.由知，因此x可能值为 1,9;21,29;41.经检验，仅当1997 2 x45x 时，有，使 ， 29+34=63.29x34y19973429 22 第第 二二 试试 一、证明一、证明 ，CPFEFPEPG 故 EPGAPGDPB45 CPF 45 CPFBPF .BPC PC=PD,PB公用， 故 ，PDBPCB BC=BD. 又 ，45CBPPBD 故 ，90CBD .DBBC 二、二、由方程 04)(33 2 abxbax 得 ,， )(ba ab 3 4 从条件 ，) 1)(1() 1() 1( . 13)( 2 将代入，有 ， 14)( 2 abba 即 ， ，1)( 2 baba 故 . 1ba 由判别式0 得 16ab. 2 )(3ba 将代入，有 4. 2 )(ba 第 69 页 共 120 页19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 由,可知，满足条件的(a,b)只能是(1,0)或(0,-1). 三、三、