浅谈单位圆在三角函数中的应用

浅谈单位圆在三角函数中的应用单位圆是半径等于单位长的圆，而三角函数是以自变量为实数的函数；它们似乎没什么关系，在直角坐标系的媒介作用下，这两者的关系可谓“密不可分”。与旧教材相比，课标教材中单位圆贯穿于三角函数教学始终，本文对此作一个探讨。1借单位圆定义任意角的三角函数。如图1，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点。图1那么叫做的正弦，记作，即；叫做的余弦，记作，即；叫做的正切，记作，即。这样正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数；比大纲版的“距离比值”定义要简单直观，而且应用定义解决问题也非常简捷。如课本第12页例1，求的正弦、余弦和正切值。图2解法过程：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标，所以，这样的解法学生易掌握好计算，只需找角的终边与单位圆的交点，用定义即可解决问题。2借单位圆来证明同角三角函数关系，让推导过程直观具体。图3如图3，以正弦线MP，余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，且OP=1，由勾股定理有：OM2+MP2=1，因此，即；当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。再者，单位圆让学生求解知角一函数值，求其余两函数值不易出错。如课本19页例6，已知，求、的值。图4先利用正弦线找出角的两条终边OP、OQ，然后再分第三、第四象限讨论，不易漏解，也不会出现的错误写法。3借单位圆推导诱导公式。大纲版从求三角函数值引入，把180、360、90的三角函数与的三角函数关系作为诱导公式，并且把关于90的诱导公式作为和（差）角公式的推论给出。而课标版先考虑、的终边与终边的对称关系，再据三角函数定义导出所有诱导公式，既能很好地反映诱导公式的本质，又使它们成为一个有机的整体。另外，去掉360的诱导公式（因为它与的诱导公式等价），增加了的诱导公式。4借单位圆讨论三角函数的性质。借助三角函数线可知：在内，正弦、余弦、正切的单调性。如：由0增大到1；由1减小到0；由0增大到+；随角的变化，三角函数线的变化，知正余弦函数值域为-1,1，正切的值域为同理可知正弦、余弦的奇偶性。角与角对应的正弦线关于轴对称，余弦线重合，因此正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数。5借单位圆中函数线解方程与不等式。如：已知,求。图5在一个周期内有或，推广到整个定义域内，则有或。再如已知，求范围。先作“临界函数”线OP、OQ，在内，；推广到整个定义域内，则6单位圆与向量结合，证明两角差的余弦如：在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角、，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则，由向量数量积的坐标表示，有=+设与的夹角为，则=+，由图6知，；由图7知，于是图7图6所以，也有。有了差角的余弦做基础，结合诱导公式及同角间函数关系，可推导以下、等十一个公式。综上，三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数性质，两角差的余弦都可以借助单位圆得以更好学习与掌握；借助单位圆解三角方程与不等式，让学生体会数形结合的思想在解决问题中的作用。3