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以问题为导向，开发课程资源以问题为导向，开发课程资源核心素养下的初三习题课教学核心素养下的初三习题课教学吉林大学附属中学 程国庆例：以ABC的两边AB、AC为边向外做正方形ABDE和正方形ACFG求证：CE=BG且CEBG1. 添加条件，由简单到复杂添加条件，由简单到复杂，不断拓展思维的宽度不断拓展思维的宽度2.改变条件，由特殊到一般，改变条件，由特殊到一般，不断延伸思维的长度不断延伸思维的长度3.去伪存真，由静止到运动，去伪存真，由静止到运动，不断提升思维的高度不断提升思维的高度 习题演示.gsp关键词：核心素养与学会思考关键词：核心素养与学会思考 数学核心素养的每一个方面都不是孤立的，是互相联系、互相渗透的，我们通过直观想象、经由逻辑推理、数学建模、最后到数学抽象； 深挖习题后面隐形教学资源，让有质量的问题使习题充满弹性和张力。“为学生提为学生提供典型而丰富的学习素材，让学生展开独供典型而丰富的学习素材，让学生展开独立思考，并在思考的方向和方法上做适当立思考，并在思考的方向和方法上做适当的引导，是使学生学会思考的关键的引导，是使学生学会思考的关键” （章建跃）（章建跃）。1.创设认知冲突，追求认知体验2.设置逻辑距离，寻求逻辑关联3.防止思维流失，探求思维深度4.践行核心素养，谋求核心发展 1. 添加条件，由简单到复杂添加条件，由简单到复杂，不，不断拓展思维的宽度断拓展思维的宽度 所谓添加条件，就是在原有题的条所谓添加条件，就是在原有题的条件基础上增加条件，可以强化添加，件基础上增加条件，可以强化添加，可以类比添加。可以类比添加。1.1如图2，点P是BC的中点，M、N分别是正方形ABDE和正方形ACFG的中心，求证：PM=PN且PMPN （强化添加）（强化添加）亦可证出PQ=MN且PQMN1.2 点Q是EG的中点，求证：四边形MPNQ是正方形(类比添加类比添加)关键词：逻辑推理关键词：逻辑推理 所谓的逻辑推理，不仅仅是某一道题的逻辑推理，还包含着题与题之间的逻辑关系，还包括方法和思想的可类比程度及其逻辑关系。 2.改变条件，由特殊到一般，改变条件，由特殊到一般，不断延伸思维的长度不断延伸思维的长度 所谓改变条件，也可以异向改变，把所谓改变条件，也可以异向改变，把其中的某一个条件抽掉，换成其他的条件其中的某一个条件抽掉，换成其他的条件；逆向改变，就是用逆向思维的方法将结；逆向改变，就是用逆向思维的方法将结论和条件（或条件之一）进行互换；还可论和条件（或条件之一）进行互换；还可以弱化条件，将条件一般化，更利于抽象以弱化条件，将条件一般化，更利于抽象出题目的本质，达到去粗取精的作用出题目的本质，达到去粗取精的作用1.3 如图4，在例题中添加AQ是AEG的中线，QA的延长线交BC于P，则APBC（异向改变）（异向改变）将AEG绕A点逆时针旋转90如图5，构造HBC的中位线1.4在例题中添加AP是BC边上的高，AP的反向延长线交EG于Q，求证：Q是EG的中点（逆向改变）（逆向改变）探索新结论，开发副产品探索新结论，开发副产品 要在证明结论的基础上，看一看能不能要在证明结论的基础上，看一看能不能得出新的结论，从而可以把推理链条拉长得出新的结论，从而可以把推理链条拉长1.5 在图五中的证明可以得到新的结论：（1）AEG和ABC的面积相等 （2）2AQ=BC 正方形正方形ABDE和正方形和正方形ACFG中中BD、DE，CF、FG，把这些，把这些线段去掉，再连上线段去掉，再连上EB和和CG，再去掉再去掉BC，恰好是两个有公共端点的等腰直，恰好是两个有公共端点的等腰直角三角形的旋转问题，如图角三角形的旋转问题，如图9,我们进一步把我们进一步把条件一般化条件一般化（弱化条件）（弱化条件）我们定义：如图1，在ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC当+=180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；如图3，当BAC=90，BC=8时，则AD长为 猜想论证：（2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，C=90，D=150，BC=12，CD=2 ，DA=6在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由其中（2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明 2017江西中考试题.gsp在BC上取点P，在PA的延长线上取点M，使APB=EMA=EAB，构成三个角都相等的基本图形，再坐GNEM，可证得AEM BAP，AGN CAP则得EM=GN=AP且ENGM可证出Q是EG的中点关键词：直观猜想、数学抽象关键词：直观猜想、数学抽象 直观猜想直观猜想：可以在把AB、AC旋转的过程中进行相同比例的放缩，是否仍然可以得到相应的结论？是否完成了由全等向相似的过渡？ 我们看到这道题是把上面两个正方形的旋转更一般化，这种一般化的过程就是数学抽象的过这种一般化的过程就是数学抽象的过程程，是透过现象看本质的过程.。数学抽象无非是两种，一种是生产生活中抽象出的数学，另一种是数学本身的抽象。无疑我们在这道题中是后一种。3.去伪存真，由静止到运动，不去伪存真，由静止到运动，不断筑起思维的高度断筑起思维的高度 可以将一些习题放入到坐标平面中，将可以将一些习题放入到坐标平面中，将几何问题解析化，也可以把某些代数问题几何问题解析化，也可以把某些代数问题几何化（构造几何图形解代数题）几何化（构造几何图形解代数题） 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0,2），动点B由原点O出发，沿轴正向运动，运动速度是每秒1个单位，运动时间为t秒，以AB为一边，在第一象限做正方形ABCD，判断动点C运动的路径是什么？并用含t的式子把点C经过的路径的长表示出来。3.1 如图12，我们以OA为一边在第一象限作正方形AOFE，恰好也形成了两个有公共端点的正方形旋转问题3.2 如图13，点B是正方形OFEA上的任意一点，ABBC，CF是EFG的角平分线， 求证：AB=BC3.3 图11中，把正方形ABCD改成等边三角形ABC，其他条件不变，点C经过的路径是什么样的？如何用解析法或其他方法获得证明？关键词：类比关键词：类比 所说的用类比的方法进行变式，多数是所说的用类比的方法进行变式，多数是从特殊到一般和一般到特殊，我们可以称从特殊到一般和一般到特殊，我们可以称之为延伸类比，比如有全等到相似，有直之为延伸类比，比如有全等到相似，有直线到曲线，由三角形到四边形；还有一类线到曲线，由三角形到四边形；还有一类类比可以称之为平行类比，如正三角形换类比可以称之为平行类比，如正三角形换成正方形，把菱形换成矩形等等成正方形，把菱形换成矩形等等3.4在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0,2），动点B由原点O出发，沿轴正向运动，运动速度是每秒1个单位，运动时间为t秒，将线段AB绕B点顺时针旋转角，则动点C经过路线是否还是射线，如果是能否写出它的解析式？ 3.5 若3.4中旋转后的线段进行放缩，动点C经过路线是否还是射线，如果是能否写出它的解析式？ 3.6 若3.4中动点是在折线上运动，动点C经过路线是否也是折线？若在曲线上运动呢？ 3.7 在上述3.4、3.5中点C和点B是否具有线性相关性？ 从上面的问题可以看出，由一道基本图形出发，可以通过变式训练，改变某些条件，寻找变化中的不变量，是提高学习效率和学习效果的重要途径，对培养学生的数学核心素养具有非常重要的意义。 谢谢
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