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课时分层作业(二十三)实际问题的函数建模(建议用时：60分钟)合格基础练一、选择题1甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A甲比乙先出发B乙比甲跑得路程更多C甲、乙两人的速度相同D甲先到达终点D由图可知，甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，故选D.2某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A310元 B300元 C290元 D280元B令ykxb，则解得所以y500x300，令x0，y300.故营销人员没有销售量时的收入是300元3某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是yx275x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为()A30 B40 C50 D60C设安排生产x台，则获得利润f(x)25xyx2100x(x50)22 500.故当x50台时，获利润最大故选C.4某企业产值连续三年持续增长，这三年年增长率分别为P1，P2，P3，则这三年的年平均增长率为()A.(P1P2P3)B.C.1D1(P1P2P3)C设这三年的年平均增长率为x，企业产值的基数为a，则a(1x)3a(1P1)(1P2)(1P3)所以x1.5.如图所示，开始时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1aen t，那么桶(2)中水就是y2aaen t，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过多少分钟桶(1)中的水只有()A7分钟 B8分钟 C9分钟 D10分钟D由题意得ae5naae5n，en.设再经过t分钟，桶(1)中的水只有，得aen(t5)，则3，解得t10.二、填空题6经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数日销售量为f(t)2t100，价格为g(t)t4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)_.2t2108t400日销售额Sf(t)g(t)(2t100)(t4)2t2108t400.7甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么yf(x)的解析式为_y由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得：yf(x)8.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为_15,12由三角形相似，即，得x(24y)，所以Sxy(y12)2180，故当y12时，S有最大值，此时x15.三、解答题9为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0桌子高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？解(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为ykxb(k0)将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得所以所以y与x的函数解析式是y1.6x11.(2)把x42代入(1)中所求的函数解析式中，有y1.6421178.2.所以给出的这套桌椅是配套的10一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，则a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.故每年砍伐面积的百分比为1.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1x)ma，即，解得m5.故到今年为止，已砍伐了5年(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多还能砍伐15年等级过关练1把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1()，空气的温度是T0()，经过t分钟后物体的温度T()可由公式TT0(T1T0)e0.25t求得把温度是90 的物体，放在10 的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50，那么t的值约等于(参考数据：ln 31.099，ln 20.693)A1.78 B2.77C2.89 D4.40B由题意可知5010(9010)e0.25t，整理得e0.25t，即0.25tln ln 20.693，解得t2.77.2某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1市场供给表单价(元/kg)22.42.83.23.64供给量(1 000 kg)506070758090表2市场需求表单价(元/kg)43.42.92.62.42需求量(1 000 kg)506065707580根据上面提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在下列哪个区间内()A(2.3,2.4) B(2.4,2.6)C(2.6,2.8) D(2.8,2.9)C当供给量与需求量均为70时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6，2.8)时最有可能达到供需平衡，故选C.3某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元2 500每生产一单位成品，成本增加10万元，单位产品数Q时的总成本为2 00010Q万元K(Q)40QQ2，利润L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500，当Q300时，L(Q)的最大值为2 500万元4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)之间的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式话费相差_元10设A种方式对应的函数解析式为sk1t20，B种方式对应的函数解析式为sk2t.当t100时，100k120100k2，所以k2k1.当t150时，150k2150k1201502010.即当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差10元5销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1am，y2bx，(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示(1)求函数y1，y2的解析式；(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值解(1)由题意解得a，m，y1(x0)又由题意8b得b，y2x(x0)(2)设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入(4x)万元令所获利润为y万元由(1)得y(4x)x(0x4)令t(1t)，则有yt2t(t2)21(1t)当t2即x3时，ymax1.综上，该商场所获利润的最大值为1万元.- 7 -
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