2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价五 向量的数量积 新人教A版必修2

课时素养评价 五向量的数量积(25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.(多选题)以下命题不正确的是()A.若a0，则对任一非零向量b都有ab0B.若ab=0，则a与b中至少有一个为0C.a与b是两个单位向量，则a2=b2D.若ABC是等边三角形，则，的夹角为60【解析】选A，B，D.上述命题中只有C正确，因为|a|=|b|=1，所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.当非零向量a，b垂直时，有ab=0，显然A，B错误.根据两个向量夹角的概念，的夹角应为120.2.(2019邯郸高一检测)在RtABC中，C=90，AC=4，则=()A.-16B.-8C.8D.16【解析】选D.设CAB=，所以AB=，=|cos =4cos =16.【加练固】 在ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则(+)等于()A.-B.-C.D.【解析】选A.由题意，结合图形有(+)=2=-=-=-.3.(2019宣城高一检测)已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，ab=1，则向量a与a-b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.|a-b|=设向量a与a-b的夹角为，则cos = 又因为0，所以=.4.已知|a|=|b|=1，a与b的夹角是90，c=2a+3b，d=ka-4b，c与d垂直，则k的值为()A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.因为cd=0，所以(2a+3b)(ka-4b)=0，所以2ka2-8ab+3kab-12b2=0，所以2k=12，所以k=6.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab=0，若c=2a-b，则cos􀎮a，c􀎯=_.【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4ab=9，所以|c|=3，因为ac=a(2a-b)=2a2-ab=2，所以cos􀎮a，c􀎯=.答案：6.已知|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为，则向量m=a-4b的模为_.【解析】|m|2=|a-4b|2=a2-8ab+16b2=4-821+16=12，所以|m|=2.答案：2三、解答题(共26分)7.(12分)已知非零向量a，b，满足|a|=1，(a-b)(a+b)=，且ab=.(1)求向量a，b的夹角.(2)求|a-b|.【解析】(1)设a与b的夹角为，因为(a-b)(a+b)=，所以a2-b2=，即|a|2-|b|2=.又|a|=1，所以|b|=.因为ab=，所以|a|b|cos =，所以cos =，所以向量a，b的夹角为45.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a|b|cos +|b|2=，所以|a-b|=.8.(14分)已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影为-1.(1)求a与b的夹角.(2)求(a-2b)b.(3)当为何值时向量a+b与向量a-3b互相垂直？【解析】(1)因为|a|=2|b|=2，所以|a|=2，|b|=1.又因为a在b方向上的投影为|a|cos =-1，所以ab=|a|b|cos =-1.所以cos =-，所以=.(2)(a-2b)b=ab-2b2=-1-2=-3.(3)因为a+b与a-3b互相垂直，所以(a+b)(a-3b)=a2-3ab+ba-3b2=4+3-1-3=7-4=0，所以=.(15分钟30分)1.(4分)点O是ABC所在平面上的一点，且满足=，则点O是ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心【解析】选B.因为=，所以(-)=0，即=0，所以，同理，所以O是ABC的垂心.2.(4分)在ABC中，C=90，|AB|=6，点P满足|CP|=2，则的最大值为()A.9B.16C.18D.25【解析】选B.取AB的中点D，连接CD.设与的夹角为，则：=(+)(+)=+(+)+=+(+)=22+2=4+2=4+2|cos =4+223cos =4+12cos ，所以当=0时，的最大值为16.3.(4分)已知向量a，b的夹角为45，且|a|=4，(2a-3b)=12，则|b|=_；b在a方向上的投影等于_.【解析】(2a-3b)=a2+ab-3b2=12，即3|b|2-|b|-4=0，解得|b|=(舍负值)，b在a方向上的投影是|b|cos 45=1.答案：14.(4分)已知圆O是ABC的外接圆，M是BC的中点，AB=4，AC=2，则=_.【解析】因为M是BC的中点，所以=(+)，又因为O是ABC的外接圆圆心，所以=|cosBAO=|2=8，同理得=|2=2，所以=(+)=+=4+1=5.答案：55.(14分)设两个向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【解析】当夹角为时，也有(2te1+7e2)(e1+te2)0，但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=(e1+te2)，0，则所以由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，得cos=0，所以(2te1+7e2)(e1+te2)0，化简得2t2+15t+70.解得-7t0，又|a|2=4，|b|2=9，ab=3，所以32+13+30，解得或.但是当=1时，向量a+b与a+b共线，其夹角不是锐角，故的取值范围是(1，+).1.在ABC中，AB=，BC=2AC=2，满足|-t|的实数t的取值范围是_.【解析】设与的夹角为，则=30.在ABC中，AB=，BC=2AC=2，即AC=1.因为AB2+AC2=BC2，所以ABC为直角三角形，A=90，B=30.所以由|-t|得-2tcos +t23，所以3-2t2+4t23，整理，得2t2-3t0，解得0t.所以实数t的取值范围是.答案：2.如图，在直角ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：与的夹角取何值时，最大？并求出这个最大值.【解析】设与的夹角为，则=(-)(-)=-+=-a2-+=-a2-(-)=-a2+=-a2+a2cos.故当cos =1，即=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.- 9 -