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课时素养评价 三十九函数模型的应用 (25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股,可以预知一年后以每股18.96元的价格销售.已知该年银行利率为0.8%,按月计复利,为获取最大利润,某人应将钱注:(1+0.8%)12=1.100 38()A.全部购买股票B.全部存入银行C.部分购股票,部分存银行D.购股票或存银行均一样【解析】选B.买股票利润:x=(18.96-17.25)10 000,存银行利润:y=17.2510 000(1+0.8%)12-17.2510 000,计算得x0,-1,所以Q=Q0为减函数,所以随时间的增加,臭氧的含量减少.(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失,则Q=Q0=Q0,即=,取对数可得-=ln,解得x=400ln 2277.2.所以278年以后将会有一半的臭氧消失.8.(14分)我国加入WTO时,根据达成的协议,某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)=(其中t为关税的税率,且t,x为市场价格,b,k为正常数).当t=时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图象求b,k的值.(2)当关税的税率t=时,求市场供应量P不低于1 024时,市场价格至少为多少?【解析】(1)由题干图可知解得k=6,b=5.(2)由(1)可得P(x)=,设m=(1-6t)(x-5)2,当t=时,m=(x-5)2,因为市场供应量P不低于1 024,所以2m1 024,解得m10,所以(x-5)210,解得x10故市场供应量P不低于1 024时,市场价格至少为10.【加练固】为了预防甲型H1N1流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min )成正比例,药物燃烧完后满足y=,如图所示,现测得药物8 min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg,请按题中所供给的信息,解析下列各题.(1)求y关于x的函数解析式.(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?【解析】(1)当0x8时,设y=x,代入(8,6),解得=,所以y=x(0x8).当x8时,(8,6)代入y=,可得k=48,所以y=(x8),所以y=.(2)当x0,8时,x=3,解得x=4,当x8时,=3,解得x=16.所以空气中每立方米的含药量不低于3 mg时的持续时间为16-4=1210,所以此次消毒有效. (15分钟30分)1.(4分)某企业2018年全年投入研发资金150万元,为激励创新,该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%,则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.080.033,lg 20.301,lg 30.477)A.2020B.2021C.2022D.2023【解析】选C.设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n,则150(1+8%)n-2018200,则n2018+2018+=2 021.8,取n=2 022.2.(4分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t= -144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数,则当N=40时,t=_.(已知lg 50.699,lg 30.477)【解析】当N=40时,则t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)36.72.答案:36.723.(4分)大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素,治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务,其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中,每经过一次处理可将有害气体减少20%,那么要让有害气体减少到原来的5%,至少要经过_次处理?(参考数据:lg 0.05-1.301,lg 0.8-0.097.)【解析】设工业有害气体在未处理前为a,经过x次处理后变为y,则y=a(1-20%)x=a(80%)x.由题意得=5%,即(80%)x=5%,两边同时取以10为底的对数得xlg0.8=lg0.05,即x=13.4.因而需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%.答案:144.(4分)汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反应需要时间,汽车在惯性的作用下有一个刹车距离,设停车安全距离为S,驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1,刹车距离为S2,则S=S1+S2.而S1与反应时间t有关,S1=10ln(t+1),S2与车速v有关,S2=bv2.某人刹车反应时间为-1秒,当车速为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,若在限速100 km/h的高速公路上,则该汽车的安全距离为_.(精确到米)【解析】因为刹车反应时间为-1秒,所以S1=10ln(-1+1)=10ln=5,当车速为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,则S2=b(60)2=20,解得b=,即S2=v2,若v=100,则S2=100256,S1=5,则该汽车的安全距离S=S1+S2=5+56=61(米).答案:61米5.(14分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y和月份数x的关系,模拟函数可以选用二次函数y=px2+qx+r或函数y=abx+c(其中a,b,c为常数,a0),已知4月份该产品的产量为1.37万件,问选取哪个函数模型好?请说明理由.【解析】对于二次函数y=px2+qx+r,由已知得得所以y=-0.05x2+0.35x+0.7,当x=4时,y1=-0.0542+0.354+0.7=1.3.又对于函数y=abx+c,由已知得得所以y=-0.8+1.4,当x=4时,y2=-0.8+1.4=1.35,根据四月份的实际产量为1.37万件,而|y2-1.37|=0.020.07=|y1-1.37|,所以选取函数y=-+模型较好.1.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta),其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡,放在24 的房间中,如果咖啡降到40 需要20分钟,那么此杯咖啡从40 降温到32 时,还需要_分钟.【解析】由题意可得Ta=24,T0=88,T=40,可得:40-24=(88-24),解得h=10,此杯咖啡从40 降温到32 时,可得:32-24=(40-24),解得t=10.答案:102.在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验:将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a,k是常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量.(1)求a的值.(2)求k的值.(3)设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变化的函数关系的草图,并简要描述实验中糖块的溶解过程.【解析】(1)由题意,t=0,S=a=7.(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,所以3.5=7e-5k,解得k=.(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示.溶解过程:随着时间的增加,逐渐溶解.9
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