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第2章 圆锥曲线与方程对应学生用书P46一、圆锥曲线的意义1椭圆平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 3抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1椭圆的标准方程和几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybaya，bxb顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(c,0)(0，c)焦距F1F22c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率0e13. 抛物线的标准方程和几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下三、圆锥曲线的统一定义(1)定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离比等于常数e的点的轨迹当0e1时，表示双曲线；当e1时，表示抛物线其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线(2)对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(c,0)，F2(c,0)对应的准线方程分别为x，x.四、曲线与方程1定义如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解，且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)0的曲线2求曲线的方程的方法(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分将答案填在题中的横线上)1(江苏高考)双曲线1的两条渐近线的方程为_解析：令0，解得yx.答案：yx2抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是_解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为yx，所以所求距离为.答案：3方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是_解析：由题意得解之得a0，b0)与圆x2y22a2的一个交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF13PF2，则双曲线的离心率为_解析：由得PF13a，PF2a，设F1OP，则POF2180，在PF1O中，PFOFOP22OF1OPcos ，在OPF2中，PFOFOP22OF2OPcos(180)，由cos(180)cos 与OPa，得c23a2，e.答案：6已知动圆P与定圆C：(x2)2y21相外切，又与定直线l：x1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是_解析：设P(x，y)，动圆P在直线x1的左侧，其半径等于1x，则PC1x1，即2x.y28x.答案：y28x7已知双曲C11(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐进线的距离为2，则抛物线C2的方程为_解析：双曲线C1：1(a0，b0)的率心率为2.2，ba.双曲线的渐近线方程为 xy0.抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2.p8.所求的抛物线方程为x216y.答案：x216y8过抛物线x28y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1y28，则P1P2的值为_解析：由题意知p4，由抛物线的定义得P1P2P1FP2F(y1y2)p8412.答案：129椭圆1的右焦点到直线yx的距离是_解析：椭圆1的右焦点为(1,0)，右焦点到直线x3y0的距离d.答案：10已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB10，BF8，cosABF，则C的离心率为_解析：在ABF中，AF2AB2BF22ABBFcosABF10282210836，则AF6.由AB2AF2BF2可知，ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，cOF5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以BFAF18.由椭圆的性质可知AFAF1142aa7，则e.答案：11(新课标全国卷改编)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3.所以E的方程为1.答案：112抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于_解析：令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x28x10，x1x22，x1x2，AB.答案：13以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_解析：如图，设椭圆的方程为1(ab0)，焦半径为c.由题意知F1AF290，AF2F160.AF2c，AF12csin 60c.AF1AF22a(1)c.e1.答案：114给出如下四个命题：方程x2y22x10表示的图形是圆；椭圆1的离心率e；抛物线x2y2的准线的方程是x；双曲线1的渐近线方程是yx.其中所有不正确命题的序号是_解析：表示的图形是一个点(1,0)；e；渐近线的方程为yx.答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)求与椭圆1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程解：椭圆1的焦点是(0，5)，(0,5)，焦点在y轴上，于是设双曲线方程是1(a0，b0)，又双曲线过点(0,2)，c5，a2，b2c2a225421，双曲线的标准方程是1，实轴长为4，焦距为10，离心率e，渐近线方程是yx.16(本小题满分14分)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，若|AB|8，求直线l的方程解：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，当直线l斜率不存在时，|AB|4，不合题意设直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，整理得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知k0，则x1x2.由抛物线定义知，|AB|AF|BF|x11x21x1x22，x1x228，即28.解得k1.所以直线l的方程为y(x1)，即xy10，xy10.17(本小题满分14分) 如图，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解：(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)代入椭圆方程3x24y212c2，得B.所以|AB|c0|c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca240，解得a10，b5.法二：设ABt.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义BF1BF22a可知，BF13at.由余弦定理得(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.18(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解：(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以AB22 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0，y01.所以PD.设ABD的面积为S，则SABPD，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.19(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率解：(1)设M到直线l的距离为d，根据题意d2|MN|.由此得|4x|2，化简得1，所以，动点M的轨迹方程为1.(2)法一：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykx3代入1中，有(34k2)x224kx240，其中(24k)2424(34k2)96(2k23)0，故k2.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.又因为A是PB的中点，故x22x1，将代入，得x1，x，可得2，且k2，解得k或k，所以直线m的斜率为或.法二：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)A是PB的中点，x1，y1.又1，1，联立，解得或即点B的坐标为(2,0)或(2,0)，所以直线m的斜率为或.20(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E：x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明： 0，k20，k1k2，所以0k1k221.故0，所以点M到直线l的距离d.故当k1时，d取最小值.由题设，解得p8.故所求的抛物线E的方程为x216y.13
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