2018-2019学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法练习 新人教A版选修4-5

一 数学归纳法,学生用书P56)A基础达标1数学归纳法证明中，在验证了n1时命题正确，假定nk时命题正确，此时k的取值范围是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kN解析：选C.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.2设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于()A BC D解析：选D.因为f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应该写成()A假设当nk(kN)时，xnyn能被xy整除B假设当n2k(kN)时，xnyn能被xy整除C假设当n2k1(kN)时，xnyn能被xy整除D假设当n2k1(kN)时，xnyn能被xy整除答案：D4用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)”时，从nk到nk1，等式左边需要增乘的代数式是()A2k1 BC2(2k1) D解析：选C.当nk时，等式左边为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，等式左边为(k2)(k3)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)，即增乘了2(2k1)5在用数学归纳法证明等式1232n2n2n(nN*)的第(ii)步中，假设nk时原等式成立，那么在nk1时需要证明的等式为()A1232k2(k1)2k2k2(k1)2(k1)B1232k2(k1)2(k1)2(k1)C1232k2k12(k1)2k2k2(k1)2(k1)D1232k2k12(k1)2(k1)2(k1)解析：选D.因为用数学归纳法证明等式1232n2n2n时，当n1时左边所得的项是12；假设nk时，命题成立，1232k2k2k，则当nk1时，左端为1232k2k12(k1)，所以1232k2k12(k1)2(k1)2(k1)故选D.6用数学归纳法证明时，设f(k)1427k(3k1)k(k1)2，则f(k1)_解析：f(k1)1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2.答案：(k1)(k2)27用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到_解析：因为nk时，命题为“12222k12k1”，所以nk1时，为使用归纳假设，应写成12222k12k2k11.答案：12222k12k2k118已知平面上有n(nN，n3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)_，f(4)_，f(5)_，f(n1)f(n)_解析：当nk时，有f(k)条直线当nk1时，增加的第k1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k1)f(k)k.又f(2)1，所以f(3)3，f(4)6，f(5)10，f(n1)f(n)n.答案：3610n9用数学归纳法证明：123234n(n1)(n2)(nN)证明：(1)当n1时，左边1236，右边6，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即123234k(k1)(k2)，那么当nk1时，123234k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k4)即当nk1时等式成立综合上述(1)(2)得，对一切正整数n，等式都成立10证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)n(n3)(n4，nN)证明：(1)当n4时，四边形有两条对角线，f(4)4(43)2，命题成立(2)假设当nk(k4，nN)时命题成立，即f(k)k(k3)，那么，当nk1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加k1条，则f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3，即当nk1时命题也成立根据(1)(2)，可知命题对任意的n4，nN都成立B能力提升1已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30 B26C36 D6解析：选C.因为f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除证明如下：n1，2时，由上得证，设nk(k2，kN)时，f(k)(2k7)3k9能被36整除，则f(k1)f(k)(2k9)3k1(2k7)3k(6k27)3k(2k7)3k(4k20)3k36(k5)3k2，故f(k1)能被36整除因为f(1)不能被大于36的数整除，所以所求最大的m值等于36.2用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_解析：nk时等式为1222(k1)2k2(k1)22212，nk1时等式为1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212.所以nk1时等式左边比nk时等式左边增加了k2(k1)2.答案：k2(k1)2(或2k22k1)3已知数列an满足a10，a21，当nN时，an2an1an，求证：数列an的第4m1项(mN)能被3整除证明：(1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除(2)假设当mk(k1，kN)时，a4k1能被3整除，则当mk1时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除所以3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除由(1)和(2)知，对于nN，数列an中的第4m1项能被3整除4求证：tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(n2，nN)证明：(1)当n2时，左边tan tan 2，右边222tan tan 2，等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时等式成立，即有：tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kk.当nk1时，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)ktan ktan(k1)k1tan(k1)tan ktan(k1)tan k(k1)所以当nk1时，等式也成立6