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课时跟踪训练(二) 两个计数原理的综合应用(时间45分钟)题型对点练(时间20分钟)题组一选(抽)取与分配问题1某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方法有()A6种 B7种 C8种 D9种解析可按女生人数分类：若选派一名女生，有236种不同的选派方法；若选派2名女生，则有3种不同的选派方法由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法答案D2把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有()A4种 B5种C6种 D7种解析共有4种方法列举如下：1,4,5；2,4,4；2,3,5；3,3,4.答案A3有4位教师在同一年级的4个班中各教1个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A8种 B9种C10种 D11种解析设4位监考教师分别为A，B，C，D,4个班级分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下3人监考剩下的3个班，共有3种不同方法同理A监考c或d时，也分别有3种不同方法根据分类加法计数原理，监考的方法共有3339(种)答案B题组二用计数原理解决组数问题4由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是()A4 B8 C16 D24解析由题意分析知，严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为448.答案B5现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_解析因为正整数m，n满足m7，n9，所以(m，n)所有可能的取值有7963(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4520(种)，因此所求概率为.答案6用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字回答)解析用数字2,3可以组成2416个四位数其中，只由2可构成1个四位数，只由3可构成1个四位数，故数字2,3至少都出现一次的四位数的个数为161114.答案14题组三用计数原理解决涂色(种植)问题7如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有()A180种 B240种C360种 D420种解析区域2,3,4,5地位相同(都与其他4个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种种法，再种区域2，有4种种法，接着种区域3，有3种种法，种区域4时应注意：区域4与区域2同色时区域4有1种种法，此时区域5有3种种法；区域4与区域2不同色时区域4有2种种法，此时区域5有2种种法，故共有543(322)420种栽种方案故选D.答案D8湖北省(鄂)分别与湖南(湘)、安徽(皖)、陕西(陕)三省交界(如图)，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法有_种解析由题意知本题是一个分步乘法计数问题，第一步涂陕西，有5种结果，再涂湖北，有4种结果，第二步涂安徽，有4种结果，再涂湖南有4种，即5444320(种)答案3209用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔问：该板报有多少种书写方案？ 解第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6545600种不同的书写方案综合提升练(时间25分钟)一、选择题1已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16 C13 D10解析分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面故可以确定8513个不同的平面答案C2一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有()A6种 B8种C12种 D48种解析每个景区都有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法，游览第二个景点有4种选法，游览第三个景点有2种选法，故共有64248种不同的游览线路答案D3用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，比3542大的四位数的个数是()A360 B240 C120 D60解析因为3542是能排出的四位数中千位为3的最大的数，所以比3542大的四位数的千位只能是4或5，所以共有2543120个比3542大的四位数答案C二、填空题45只不同的球，放入2个不同的箱子中，每箱不空，共有_种不同的放法解析第1只球有2种放法，第2只球有2种放法，第5只球有2种放法，总共有2532种放法，但要每箱不空，故有2种情况不合要求，因此，符合要求的共有25230种不同的放法答案305直线方程AxBy0，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A、B的值，则方程表示不同直线的条数是_解析若A0，则B从1、2、3、5、7中任取一个，均表示直线y0；同理，当B0时，表示直线x0；当A0且B0时，能表示5420条不同的直线故方程表示直线的条数是112022.答案22三、解答题6如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数 解解法一：由题意，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法由分类加法计数原理，当S，A，B已染确定时，C，D有7种染法由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有607420(种)解法二：第一步，S点染色，有5种方法第二步，A点染色，由于A与S在同一条棱上，所以有4种方法第三步，B点染色，由于B与S，A分别在同一条棱上，所以有3种方法第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类当A与C同色时，D点有3种染色方法，由分步乘法计数原理，有54313180(种)方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法，再由分步乘法计数原理，有54322240(种)方法由分类加法计数原理得，不同的染色方法共有180240420(种)解法三：第一类，5种颜色全用，有54321120(种)不同的染色方法；第二类，只有4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有54325432240(种)不同的染色方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，有54360(种)不同的染色方法由分类加法计数原理得，不同的染色方法共有12024060420(种)7用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列an(1)这个数列共有多少项？(2)若an341，求n的值解(1)由题意，知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数由于每个数位上的数都有4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为44464，即数列an共有64项(2)比341小的数分为两类：第一类，百位上的数是1或2，有24432个三位数；第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，有3412个三位数所以比341小的三位数的个数为321244，因此341是这个数列的第45项，即n45.6
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