数学二 函数与导数 第4讲 导数的热点问题 文

第4讲导数的热点问题专题二函数与导数热点分类突破真题押题精练热点分类突破热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.例例1(2017届云南省昆明市第一中学月考)设函数f(x)ax2 ln x，曲线yf(x)在x2处与直线2x3y0垂直.(1)求函数f(x)的单调区间；解答解解函数f(x)的定义域为(0，)，由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0 x1时，h(x)0，所以h(x)在(1，)上为增函数，所以g(x)0，所以g(x)在(1，)上为增函数，思维升华思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m).(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.解答当0 x0；当x1时，f(x)0，从而g(x)0，故g(x)在1，)上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)2，所以k3k2，即(k1)(k2k2)0，解得k1.故k的取值范围为(，1.热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解.例例2(2017届汕头期末)设函数f(x)x2(a1)xaln x，a0.(1)求函数f(x)的单调区间；解答解解函数f(x)的定义域为(0，).当0a1时，令f(x)0，得ax0，得0 x1，所以函数f(x)的单调增区间为(0，a)和(1，)，单调减区间为(a,1)；所以函数f(x)的单调增区间为(0，)，无减区间；当a1时，令f(x)0，得1x0，得0 xa，所以函数f(x)的单调增区间为(0,1)和(a，)，单调减区间为(1，a).(2)讨论函数f(x)的零点个数.解答思维升华解解由(1)可知，当0a0,所以函数f(x)有唯一零点；当a1时，函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数f(x)有唯一零点；当a1时，函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a，)，单调递减区间是(1，a)，f(2a2)aln(2a2)0,综上，函数f(x)有唯一零点.思维升华思维升华(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题.(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.解答解解f(x)ax2(a1)x1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：1(1，)f(x)00f(x)递减极小值递增极大值递减解答(2)当a1时，判断函数f(x)在区间0,2上零点的个数.当a0时，f(x)在0,1上单调递增，在1,2上单调递减.所以f(x)在0,2上有两个零点；f(x)在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，所以f(x)在0,2上有两个零点；所以f(x)在0,1上有且仅有一个零点，在1,2上没有零点，所以f(x)在0,2上有且仅有一个零点；当a1时，f(x)0恒成立，f(x)在0,2上单调递增，所以f(x)在0,2上有且仅有一个零点，热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.例例3在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；解答解解因为矩形纸板ABCD的面积为3 600平方厘米，故当a90时，b40，从而包装盒子的侧面积S2x(902x)2x(402x)8x2260 x，x(0,20).(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.解答思维升华x(3 600240 x4x2)4x3240 x23 600 x.当且仅当ab60时等号成立.设f(x)4x3240 x23 600 x，x(0,30).则f(x)12(x10)(x30).所以当0 x10时，f(x)0，f(x)在(0,10)上单调递增；解解包装盒子的体积V(a2x)(b2x)x当10 x30时，f(x)0，f(x)在(10,30)上单调递减.因此当x10时，f(x)有最大值f(10)16 000，此时ab60，x10.所以当ab60，x10时纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米.思维升华思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x).(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)作答：回归实际问题作答.跟踪演练跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy.解答(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；解解易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为x.所以42x2yx，解答(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.解解依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有真题押题精练真题体验(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；解解f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.解答(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解答解解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点.当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；即f(ln a)0，故f(x)没有零点；又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一个零点.因此f(x)在(ln a，)有一个零点.综上，a的取值范围为(0,1).押题预测解答押题依据押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力.押题依据已知函数f(x)2xln xx22axa2，记g(x)为f(x)的导函数.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线xy30，求a的值；解解由已知，可得函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)2(x1ln xa)，所以yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率kg(1)2a.又切线垂直于直线xy30，所以k1，解答(2)讨论g(x)0的解的个数；解解由(1)可得g(x)2(x1ln xa)，令g(x)0，得ax1ln x(x0)，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.又当x0时，h(x)，当x1时，h(x)0，当x时，h(x)，故当a0时，g(x)0有两解.证明证明令(x)g(x)xx22ln x2a，(x)在(0，2)上单调递减，又0st(t)，g(s)sg(t)t，g(s)g(t)st.证明