材料力学：第十三章 能量方法

材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University# 外力功：外力功：W# 应变能：应变能：Ve e功能原理：功能原理：W = Ve e( (略去其它形式，少量的能量损失）略去其它形式，少量的能量损失）材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityFl2122F lVWF lEA # 轴力轴力 FN 是是 x 的函数时的函数时2N( )dd2FxxVEA2N( )d2lFxxVEA# 应变能密度应变能密度2122Ee lF l lF材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitylMeMeMe2eep122M lVWMGIepM lGI# 扭矩扭矩 T 是是 x 的函数时的函数时2p( )d2lTxxVGI2p( )dd2TxxVGI# 纯剪切，应变能密度纯剪切，应变能密度2122G材料力学课件材料力学课件Fuzhou University# 纯弯曲纯弯曲2ee122M lVWMEIeM lEIl MeMe Me材料力学课件材料力学课件Fuzhou University# 横力弯曲横力弯曲对于对于细长梁细长梁，剪力引起的，剪力引起的应变能应变能与弯矩引起的应与弯矩引起的应变能相比很小，通常可以变能相比很小，通常可以忽略不计忽略不计，省略省略dM(x)纯弯曲纯弯曲2e2M lVEI2( )dd2MxxVEI2( )d2lMxxVEIldxxF1F2FS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)dxd 材料力学课件材料力学课件Fuzhou University讨论：讨论： 应变能统一写为应变能统一写为12VWF广义力广义力F广义位移广义位移（可以代表一个力，一个力偶，一对（可以代表一个力，一个力偶，一对力或一对力偶）力或一对力偶）（可以代表一个线位移，一个角位移，（可以代表一个线位移，一个角位移，一对线位移或一对角位移）一对线位移或一对角位移） 非线性弹性固体非线性弹性固体F1F1Fd10dVWF10de e材料力学课件材料力学课件Fuzhou University例例1 1 简支梁，跨中受集中力简支梁，跨中受集中力F 作用，计算其应变能及最大作用，计算其应变能及最大挠度。挠度。Fl / 2l / 2Fl / 4 max解解: : 弯矩方程弯矩方程( )2FxM x （1 1）应变能）应变能2 2 022 3 2 0( )2 d2()22 d296llMxVxEIFxF lxEIEI（2 2）最大挠度）最大挠度2 3max1296F lVFEI3max48FlEI材料力学课件材料力学课件Fuzhou University例例2 2 由应变能密度公式，导出横力弯曲时的弯曲应变能和由应变能密度公式，导出横力弯曲时的弯曲应变能和剪切应变能。剪切应变能。mdxxn解解: : mn截面，距中性轴为截面，距中性轴为y 处的应力处的应力y( )M xyI22212( )22MxyEEIS( )zF x SIb222S222( )()22zFx SGGI b材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitymdxxnyzbhydAy单元体的体积：单元体的体积：dddVAx弯曲应变能：弯曲应变能：2212( )2MxyEI22S222( )()2zFx SGI b2212( )dd d2MxVyA xEI剪切应变能：剪切应变能：22S222( )()dd d2zFx SVA xGI b整个梁的弯曲应变能：整个梁的弯曲应变能：22212( )( )ddd22lAlMxMxxVyAxEIEI材料力学课件材料力学课件Fuzhou University222SS222( )( )()ddd22zlAlFxkFxSVAxxGIbGAmdxxnyzbhydAy2212( )dd d2MxVyA xEI22S222( )()dd d2zFx SVA xGI b整个梁的弯曲应变能：整个梁的弯曲应变能：21( )d2lMxxVEI整个梁的剪切应变能：整个梁的剪切应变能：* 222()dzASAkAIb材料力学课件材料力学课件Fuzhou University横力弯曲时梁的应变能：横力弯曲时梁的应变能：22S( )( )dd22llkFxMxxVxEIGA讨论：讨论： k 量纲一的因数量纲一的因数矩形截面：矩形截面：* 222()dzASAkAIb6/5k 圆形截面：圆形截面：10/9k bhFl / 2l / 2x 对于矩形截面对于矩形截面S( ), ( )22FFM xxF x2211215VhVl材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitybhFl / 2l / 2x2211215VhVl51 , 3 . 0lh(i)21:0.125VV 101 , 3 . 0lh(ii)21:0.0312VV l 所以，对细长梁，剪切应变能可所以，对细长梁，剪切应变能可忽略不计忽略不计材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityF3F1F2321l 线弹性线弹性体体 l 无刚体位移无刚体位移l 广义力广义力 F1 , F2 , F3 l 力作用点沿力的方向的力作用点沿力的方向的广义位移广义位移 1 1 , , 2 , , 3 l 比例加载：比例加载：比例系数比例系数 时广义力的大小为时广义力的大小为: :01123,FFF相应的广义位移为相应的广义位移为: :123,材料力学课件材料力学课件Fuzhou University当当 有有d 增量时增量时, , 位移的增量为位移的增量为: :则外力在位移增量上做的功为则外力在位移增量上做的功为: :积分得到力的总功为积分得到力的总功为: :123,FFF123,F3F1F2321 Fn123d ,d ,d , 1122331 12233dddddWFFFFFF 11 1223301 12233d111222WFFFFFF 材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityF3F1F2321 Fn力的总功为力的总功为: :1 12233111222WFFF由功能原理，应变能为由功能原理，应变能为: : 应变能的普遍表达式，又称为应变能的普遍表达式，又称为克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理注意注意： i 是由是由F1 , F2 , F3 共同共同作用作用下产生下产生的位移的位移，1 12233111222VWFFFe可以证明该原理也适用于非比例加载情况可以证明该原理也适用于非比例加载情况材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityN222Np111d( )d()( )d( )d222( )d( )d( )d222VFxlM xT xFxxMxxTxxEAEIGI222N p( )d( )d( )d 222lllFxxMxxTxxVEAEIGI小变形时，不计小变形时，不计FS产生的应变能产生的应变能dxFN(x)M(x)M(x)T(x)T(x)FN(x)材料力学课件材料力学课件Fuzhou University13. 4 互等定理互等定理F11 11112 2121F2 2222 121212两种受力情况，两种受力情况，1F1121,2F1222,F11 1111 1212 2222F22 1111 2121 22222F21F1先加先加 F1 再加再加 F2 ，加载方式加载方式1 1：11 112221122VFF1 12F先加先加 F2 再加再加 F1 ，加载方式加载方式2 2：22221 111122VFF221F材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityF11 1111 1212 2222F22 1111 2121 22222F21F111 112221122VFF22221 111122VFF先加先加 F1 再加再加 F2 ，先加先加 F2 再加再加 F1 ，12VV1 12221FF1 12F221F功的互等定理：功的互等定理：对于线弹性体，对于线弹性体，F1 在在 F2 引起的位移引起的位移 1212上所作的功，等于上所作的功，等于F2 在在F1引起的位移引起的位移 2121上所作的功上所作的功材料力学课件材料力学课件Fuzhou University讨论：讨论：位移互等定理：位移互等定理：lBAF112lBA12F212221 12221FF如果令如果令 F1 = F2 = F1221位移互等定理：位移互等定理：F力作用在力作用在 1 点处引起点处引起 2 点处点处的位移等的位移等于其作用在于其作用在 2 点处引起点处引起 1 点处的位移点处的位移1121材料力学课件材料力学课件Fuzhou University例例3. 3. 用互等定理求解超静定梁。用互等定理求解超静定梁。解：解：力力 位移位移EIlalEIa3),3(63221由功的互等定理由功的互等定理021BRPlPaCAB1XBRP ,0 (at point B)03)3(632EIlRalEIPaB)3(232allPaRBPRBCABX=1CAB21材料力学课件材料力学课件Fuzhou University13. 5 卡氏定理卡氏定理以梁弯曲问题为例，推导卡氏定理以梁弯曲问题为例，推导卡氏定理11212,niiiiVFf F FF令第令第i个载荷发生增量个载荷发生增量dFi，diiVVFF应变能应变能应变能增量应变能增量若先加若先加dFi，1d d2iiF应变能应变能再加再加Fi，11d2niiiiiFF应变能增量应变能增量12ini材料力学课件材料力学课件Fuzhou University12ini注意到应变能与加载次序无关，注意到应变能与加载次序无关，11111dd dd222nniiiiiiiiiiiiVFFFFFF消去同类项，略去高阶项，得到消去同类项，略去高阶项，得到iiVF卡氏第二定理：卡氏第二定理：线弹性体线弹性体的应变能的应变能 Ve e 对第对第 i 个载荷个载荷 Fi 的偏导数的偏导数 Ve e/ / Fi 等于等于Fi 作用点处沿作用点处沿Fi 作用方向的位移作用方向的位移 i材料力学课件材料力学课件Fuzhou University讨论：讨论：横力弯曲横力弯曲横力弯曲的应变能横力弯曲的应变能2( )d2lMxxVEI代入卡氏第二定理代入卡氏第二定理iiVF2( )d2liMxxFEI交换求导和积分的次序，有交换求导和积分的次序，有( )( )diliM xM xxEIF材料力学课件材料力学课件Fuzhou University 桁架、拉、压杆桁架、拉、压杆设有设有n 根杆，则应变能为根杆，则应变能为: :2N12nj jjjF lVEA代入卡氏第二定理代入卡氏第二定理iiVFNN1nj jjjjiF lFEAF材料力学课件材料力学课件Fuzhou University例例4.4. 外伸梁受力如图，已知外伸梁受力如图，已知 P, m, EI, l, a，确定确定wC, A A解：解： 弯矩方程弯矩方程lmPlalRlPalmRBA ,AB段段：mxlPalmmxRxMA111)()(1)( ,)(1111lxmxMxlaPxMBC段段：22)(PxxM0)( ,)(222mxMxPxMPBAClamRARBx2x1材料力学课件材料力学课件Fuzhou University1)( ,)(1111lxmxMxlaPxMmxlPalmxM11)()(22)(PxxM0)( ,)(222mxMxPxM 确定确定C点的挠度点的挠度 22021011d1d 1xxPxEIxxlamxlPalmEIal11221200( )( )d()()()()ddCllaVM xM xwxPEIPM xM xM xM xxxEIPEIP363132PamallPaEIPBAClamRARBx2x1材料力学课件材料力学课件Fuzhou University 确定截面确定截面A的转角的转角 2021011d01d11xPxEIxlxmxlPalmEIal20221011d )()(d)()( xmxMEIxMxmxMEIxMal( )( )dAlVM xM xxmEIm631PalmlEI1)( ,)(1111lxmxMxlaPxMmxlPalmxM11)()(22)(PxxM0)( ,)(222mxMxPxMPBAClamRARBx2x1材料力学课件材料力学课件Fuzhou University例例5.5. 刚架受力如图所示，试确定刚架受力如图所示，试确定 C、 Dx，忽略轴力和剪，忽略轴力和剪力对应变能的影响。力对应变能的影响。解：解： 为求为求 C，在，在C 处施加一附加力偶矩处施加一附加力偶矩maammRRaDA2( (方向相反方向相反) )BACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityCD段：段：axmxMxammxRxMaaD2)( ;2)(11111CB段：段：0)( ;2)(22aaDmxMmmaRxMAB段：段：0)(; 0)(33amxMxMBACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA材料力学课件材料力学课件Fuzhou University)(3200d22111201aaammEIaxaxxammEI令令 , 0amEImaC322331122123000( )( )d()()()()()()dddCaalaaaaaaVM xM xxmEImM xM xM xM xM xM xxxxEImEImEImeBACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA讨论：讨论：可在积分前令可在积分前令0am材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityEImaDx16172ACDBmx1x3x2PaRDRAyRAxBACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA 为求为求 Dx，在，在D 处施加一附加力处施加一附加力Pa材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universitysin)(;sin)(RPMPRM(在在 mm截面截面)20( )( )1 d(sin )( sin ) dBysVMMsPRRRPEIPEIeEIPRBy43RPBAmmds例例6.6. 轴线为轴线为四分之一圆周的平面曲杆如图示，四分之一圆周的平面曲杆如图示，EI为常量，求为常量，求B点的垂直和水平位移点的垂直和水平位移。解：解： (1) 计算计算B点的垂直位移点的垂直位移 B By材料力学课件材料力学课件Fuzhou University（2）计算）计算B点的水平位移点的水平位移)cos1 ( );cos1 (sinRPMRPPRMaa20302d)cos1 (sin1dEIPRRRPREIsPMEIMPUaPsaaBx）（RPBAmmdsRPBAmmdsPa材料力学课件材料力学课件Fuzhou University13. 6 虚功原理虚功原理x x 虚位移虚位移 x ：满足满足边界条件边界条件和和连续性条件连续性条件的微小位移的微小位移微小位移微小位移 符合符合小变形小变形要求要求虚功：虚功：杆件上的力由于虚位移而完成的功杆件上的力由于虚位移而完成的功设想把杆件分成无穷设想把杆件分成无穷多微段，任取一微段多微段，任取一微段qFSFNM材料力学课件材料力学课件Fuzhou University x FNqFSM总虚功总虚功 = 所有微段的内、外力虚功所有微段的内、外力虚功逐段相加（积分）逐段相加（积分）因为虚位移是连续的，两个相邻微段的公共截面因为虚位移是连续的，两个相邻微段的公共截面的位移和转角是相同的，但相邻微段公共截面上的位移和转角是相同的，但相邻微段公共截面上的内力却是大小相等、方向相反的，故它们所作的内力却是大小相等、方向相反的，故它们所作的虚功相互抵消。的虚功相互抵消。总虚功总虚功 = = 外力在虚位移中所做的功外力在虚位移中所做的功广义力：广义力：123, ( ),F FFq x力作用点沿力方向的力作用点沿力方向的广义虚位移：广义虚位移：*123,( ),x 总虚功：总虚功：*1 12233( )( )dlWFFFq xxx材料力学课件材料力学课件Fuzhou University+=+d l d dl l qFSM x FN另一方法计算总虚功：另一方法计算总虚功：刚性虚位移刚性虚位移虚变形虚变形微段上的平衡力系（包括外力和内微段上的平衡力系（包括外力和内力）在刚体虚位移上作功总和为零力）在刚体虚位移上作功总和为零只有两端截面的内力在虚变形上作功只有两端截面的内力在虚变形上作功*NSdd()ddWFlMFl总虚功：总虚功：*NSd()ddlllWFlMFl材料力学课件材料力学课件Fuzhou University+=+d l d dl l qFSM x FN*1 12233*NS( )( )dd()ddllllFFFq xxxFlMFl虚功原理：虚功原理：在虚位移上，外力所作的虚功等于内力在相在虚位移上，外力所作的虚功等于内力在相应虚变形上所作的虚功应虚变形上所作的虚功虚功原理可用于虚功原理可用于线弹性线弹性材料，也可用于材料，也可用于非线性弹性非线性弹性材料材料材料力学课件材料力学课件Fuzhou University13. 7 单位载荷法莫尔积分单位载荷法莫尔积分aa AA aaA1为计算刚架上某一点为计算刚架上某一点沿某方向的位移沿某方向的位移 加加一一单位力单位力把刚架在原有外力作用下把刚架在原有外力作用下的位移作为虚位移的位移作为虚位移由虚功原理由虚功原理NS( ),( ),( )FxM xFxNS1( )d()( )d( )dFxlM xFxl 其中，其中，NS( ),( ),( )FxM xFx为单位力引起的内力为单位力引起的内力d(), d , dll为原有外力引起的变形为原有外力引起的变形材料力学课件材料力学课件Fuzhou University由虚功原理由虚功原理其中，其中，为单位力引起的内力为单位力引起的内力d(), d , dll为原有外力引起的变形为原有外力引起的变形# 几种简化的形式几种简化的形式 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件( )dlM x 拉压杆拉压杆Nd()Fl 轴力为常量轴力为常量NN( ) d()( )lFxlFxl n 根杆的杆系根杆的杆系N1niiiFl 扭转扭转( )dlT x NS1( )d()( )d( )dFxlM xFxl NS( ),( ),( )FxM xFx材料力学课件材料力学课件Fuzhou University对于对于线弹性线弹性材料，实际载荷引起的变形分别为材料，实际载荷引起的变形分别为( )ddM xxEINF llEA p( )ddT xxGI( )dlM x 则：则：( )( )dlM x M xxEI NN1nii iiiF F lEA N1niiiFl ( )dlT x p( ) ( )dlT x T xxGI 这些公式统称为这些公式统称为莫尔定理莫尔定理，式中的积分称为，式中的积分称为莫尔积分莫尔积分材料力学课件材料力学课件Fuzhou University式中：加一杠的内力是式中：加一杠的内力是单位力单位力引起的内力；引起的内力； 未加杠的内力是未加杠的内力是原外力原外力引起的内力。引起的内力。显然，莫尔积分仅适用于显然，莫尔积分仅适用于线弹性线弹性结构。结构。( )( )dlM x M xxEI NN1ni iiiF F lEA p( ) ( )dlT x T xxGI lBAlBA11ABl 求相对位移求相对位移材料力学课件材料力学课件Fuzhou University例例7.7.确定悬臂梁确定悬臂梁B点的挠度。点的挠度。由莫尔积分，由莫尔积分，解：解：xBAx2( )2qxM xFx FABlq( )M xx 2 043( )( )1 d ()()d283lBlM x M xqxwxFxxxEIEIqlFlEIEI材料力学课件材料力学课件Fuzhou University解：解： (1) (1) 在在A点作用垂直向下的单位力点作用垂直向下的单位力AB段段: :BC段段: :ACFBalEI1EI21ACBx1x2x2x1例例8.8. 刚架受力刚架受力如图示，各段如图示，各段 EI 已于图中标出，若不计轴力和已于图中标出，若不计轴力和剪力对位移的影响，求剪力对位移的影响，求A点的垂直位移及截面点的垂直位移及截面B的转角的转角。1111(), ()M xFxM xx 22(), ()M xFaM xa 材料力学课件材料力学课件Fuzhou University由莫尔积分由莫尔积分ACFBalEI1EI21ACBx1x2x2x11111(), ()M xFxM xx 22(), ()M xFaM xa 1122120012111200123212()()()()d d11dd3alyalM x M xM x M xxxEIEIFxxxFaaxEIEIFaFa lEIEI材料力学课件材料力学课件Fuzhou University(2) (2) 在在B截面上作用一单位力偶截面上作用一单位力偶: :AB段段: :BC段段: :ACB由莫尔积分由莫尔积分 （顺时针）（顺时针）1x1x21ACBx1x2ACFBalEI1EI2x2x1111(), ()0M xFxM x 22(), ()1M xFaM x 202211 dlBFalFaxEIEI 材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityBAORFFdds例例9.9. 活塞环活塞环如图示，试计算在如图示，试计算在F力作用下切口的张开量。力作用下切口的张开量。解：解： 对于曲杆可近似用直杆的公式；只考虑弯矩的影响对于曲杆可近似用直杆的公式；只考虑弯矩的影响实际载荷的弯矩：实际载荷的弯矩：由于对称性，计算时弯矩只列写环的一半，计算结果乘由于对称性，计算时弯矩只列写环的一半，计算结果乘2 2 处截面处截面: :( )(1 cos )MFR 在在A、B两点沿两点沿AB方向加一对方向相反的单位力方向加一对方向相反的单位力加单位力加单位力 BAOR11材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityBAORFFddsBAOR11dds单位力的弯矩单位力的弯矩: : 处截面处截面: :)cos1 ()(RM代入莫尔积分公式代入莫尔积分公式0( )( )2dABMMREI02(1 cos )(1 cos )dFRRREI33FREI( )(1 cos )MFR 实际载荷的弯矩：实际载荷的弯矩：材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl解：解： 对杆件编号对杆件编号, ,如图示如图示BACD12345BACD12345111例例10.10. 简单桁架简单桁架如图示，各杆如图示，各杆EA相同，试计算在图示载荷作用相同，试计算在图示载荷作用下节点下节点B的水平位移和的水平位移和A、D两节点间的相对位移。两节点间的相对位移。12345(1) (1) 计算各杆的轴力计算各杆的轴力2FFFF0F2F2F(2) (2) 为计算节点为计算节点B的水平位移，在的水平位移，在B点加一水平单位力点加一水平单位力材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFF0F2F2F杆件编号杆件编号NiF12345F2FF02FNiFBACD12345100012ilNNii iF F l00102llll2l00Fl02 2Fl111NN12 2ii iF F lFl材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFF0F2F2FNN12 2ii iF F lFl(2) (2) 为计算节点为计算节点B的水平位移，在的水平位移，在B点加一水平单位力点加一水平单位力5NN112 23.828ii iBxiF F lFlFlEAEAEA 代入莫尔积分公式代入莫尔积分公式BACD12345100012111( (向左向左) ) 材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFF0F2F2FBACD1234511(3) (3) 为计算为计算A、D间的相对位移，在间的相对位移，在A点和点和D点点沿沿AD联联线线作用一对相反的作用一对相反的单位力单位力1/21NiF杆件编号杆件编号12345NiFF2FF02FNNii iF F lilllll2l/2Fl2/2Fl/2Fl02FlNN2ii iF F lFl1/21/21/2材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFF0F2F2FBACD1234511(3) (3) 为计算为计算A、D间的相对位移，在间的相对位移，在A点和点和D点点沿沿AD联线联线作用一对相反的单位力作用一对相反的单位力NN2ii iF F lFl（A D两点距离伸长）两点距离伸长）5NN12ii iADiF F lFlEAEA材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University