正比例函数与反比例函数

正比例函数和反比例函数综合解说客观世界是不断运动和变化着的，在这些变化着的事物中，存在各种各样的变量。在同一变化过程中，一些变量之间相互依存，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。函数是体现运动变化的基本数学概念，它从数量角度刻画事物变化的过程，表达变量之间确定的依赖关系。本章引入了函数的概念，重点讨论正比例函数和反比例函数，并借助与图像的直观，得到它们的一些基本性质，进而应用这些概念和性质，解决一些简单的实际问题。1正比例函数【知识结构框图表】【本节解读】人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征，量是用“数”来表明大小的。数与度量单位结合在一起，就是数量。经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。【基础知识与要点拨】1. 变量和常量在变化过程中，可以去不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。比如：圆的周长C与直径D的关系为CD。C、D是变量，是常量。2. 函数和自变量在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。“y是x的函数”用记号yf(x)表示，括号内的字母表示自变量，括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。f(a)表示当xa时的函数值。3. 定义域和值域函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。对应于自变量的函数值的取值范围，叫做值域。4. 正比例如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例。用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是或者，其中，k是不为零的常数。5. 正比例函数 定义域是一切实数的函数（k是不为零的常数）叫做正比例函数。其中常数k叫做比例系数。确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数。6. 函数解析式 表示两个变量之间依赖关系的数学式子叫做函数解析式。7. 正比例函数的图像和性质正比例函数（k是不为零的常数）的图像是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线。当时，直线经过第一、三象限，自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大；当时，直线经过第二、四象限，自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。8. 几点注意：A、 函数的定义域不但要使代数式有意义，而且要符合实际要求。B、 正比例函数中，k不能为零，但定义域是一切实数，两者不能混淆。C、 在实际问题中，正比例函数的图像往往是一段线段，一定要根据定义域来确定线段的所在范围。D、 正比例函数与正比例是有区别的，比如：就不是正比例函数，但是y与成正比例。2反比例函数【知识结构框图表】【本节解读】本节主要讨论反比例函数的定义、反比例函数的解析式及定义域、函数的图像和性质以及反比例函数的实际应用。【基础知识与要点拨】1. 反比例如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么这两个变量就成反比例。例如某段路程长100km，汽车速度为每小时v km，汽车行驶的时间为t小时，则v与t就满足：。所以v与t成反比例。2. 反比例函数定义域是不等于零的一切实数的函数叫做反比例函数，其中常数k叫做比例系数。3. 反比例函数的图像和性质有描点法可知，反比例函数的图像是双曲线，有两支，每支都向两方无限延伸，与坐标轴越来越靠近，但永不相交。当时，直线经过第一、三象限，在图像所在的每一个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小；当时，直线经过第二、四象限，在图像所在的每一个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。4. 几点注意：A、 反比例函数解析式有三种表示方法：，（）B、 反比例函数的图像是双曲线，有两支，分别在第一、三象限或第二、四象限C、 在图像所在的每一象限中，图像是连续的，自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐减小（或增大），但是在整个定义域中函数图像是不连续的。当x的值逐渐变化时，y的值有相反方向的变化。D、 常见问题中的已知条件为，只是限定在图像所在的一个象限内讨论的值的变化情况，不要与混淆。3函数的表示法【知识结构框图表】【本节解读】函数的表示方法，常用的有解析法、列表法、图像法三种。不同的表示方法各具特点，各有局限，把几种方法结合起来，有助于对函数进行分析和研究，尤其是用待定系数法确定函数解析式的数学思想方法值得重视。【基础知识与要点拨】1. 解析法用数学式子来表示两个变量之间的函数关系，叫做解析法。这种数学式子也叫做函数解析式，如等，解析式既概括又明了。2. 列表法 把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法。比如平方表和平方根表以及三角函数表。3. 图象法 把两个变量之间的依赖关系用图像来表达，这种表示函数的方法叫做图像法。图象法的特点是非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况。如气象中的每一天的气温与时间的关系。4. 函数解析式的确定 函数解析式的确定一般都是由已知条件寻找两个变量之间的数学关系式来确定，但有时已知了两个变量之间的确定关系如正比例函数和反比例函数，则可以用待定系数法求解析式。5. 关于解析式的几点注意A、 解析式一般用表示，能简化的要简化。B、 从实际问题得到的解析式往往既不是正比例函数，也不是反比例函数。C、 定义域一定要根据题意，符合实际意义。6. 复习教学过程：教学环节教师活动学生活动设计意图一、通过练习回忆知识（正、反比例函数的概念和性质）练习一：1、如果是正比例函数，那么n=_.2、如果是反比例函数，那么m=_.3、正比例函数的图象经过第_象限，y随x的增大而_.4、函数的图象的两个分支在第_象限内，当时，y随x的增大而_.1、学生利用正比例和反比例函数解析式的概念：比例系数都不等于0，正比例函数变量x的次数是1次，反比例函数变量x的次数是-1次，求出第1、2题中n，m的值。2、学生根据正、反比例函数的性质，完成第3、4题的填空。首先，出示关于正比例函数和反比例函数概念及性质的几道简单的练习题，唤醒学生对已有知识的记忆，并且增强学生学习的信心。二、自主梳理形成网络知识网络：1、 正比例函数：解析式：定义域：一切实数图像：一条过原点的直线性质：（1）当k0时，图像经过一、三象限；y随x的增大而增大（2）当k0时，图像在一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小（2）当k0时，图像在二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大3、提问：正比例函数与反比例函数的性质有什么相同和不同之处，要注意些什么？1、学生集体回忆并回答正比例函数和反比例函数的性质。2、学生比较正比例函数和反比例函数的性质，并说明它们性质的不同之处，同时指出，在说明反比例函数图像性质时：不能忘了说在每个象限内。通过构建这样一个知识网络，让学生对正比例函数和反比例函数的概念有一个更为清晰的了解。通过提问，让学生清楚正、反比例函数性质的不同之处，并强调在说明反比例函数图像性质时：不能忘了说在每个象限内。三、应用感悟变式训练配套训练：1、如果是正比例函数，那么=_，y随x的增大而_2、反比例函数，在每个象限内，y随x的减小而增大，那么m=_3、在反比例函数的图像上有三点（，），（，），（，）若0，则下列各式正确的是（ ） A、 B、 C、 D、学生需要综合利用正、反比例函数的概念和性质完成配套训练的三道题。但需要注意的是第2题中说的是“y随x的减小而增大”，而第3题有一定难度，可以通过画草图来解决。这三道题相对来说有点复杂，通过这两道题的练习，让学生更好地理清正、反比例函数的概念和性质。四、通过练习回忆知识（待定系数法求函数解析式）练习二：1、已知y与x成正比例，且当x=3时，y=-6，那么y关于x的函数解析式是_2、如果正比例函数图像经过点（-2,3），那么该函数的解析式是_3、如图，正比例函数图像过点A，那么该函数解析式是_y.xA（-1.5，2.5）4、已知y与x成反比例，且x=3时，y=-6，那么y关于x的函数解析式是_5、如果反比例函数图像经过点（-2，），那么该函数的解析式是_6、如图，反比例函数图像过点A，那么该函数解析式是_yxA（-1.5，-2）.8、提问：求正，反比例函数解析式，只要已知什么就可以了？1、学生利用待定系数法完成6道求正、反比例函数解析式的习题。2、学生通过解这6到题得出求正、反比例函数解析式的结论：已知两个变量的一对对应值，就可以确定函数解析式。这6道是简单的直接求正、反比例函数解析式的题，但这几道题从不同角度让学生去求函数解析式，一个是文字语言：当x=，y=；一个是文字语言：已知函数图像经过一点A (，)；另一个是图形语言：已知函数图像，及图像上的明确点A(，)。让学生学会这3种常见的求函数解析式的题型。 五、感悟习题归纳规律提问：通过上面6道用待定系数法求正、反比例函数解析式的题，你得出了什么规律？1、对于正比例函数，已知两个变量的一组对应值，只要求出的值，就是比例系数k的值，从而得出函数解析式。2、对于反比例函数，已知两个变量的一组对应值，只要求出xy的值，就是比例系数k的值，从而得出函数解析式。学生讨论得出：1、对于正比例函数，已知两个变量的一组对应值，只要求出的值，就是比例系数k的值，从而得出函数解析式。2、对于反比例函数，已知两个变量的一组对应值，只要求出xy的值，就是比例系数k的值，从而得出函数解析式。锻炼了学生的发现规律的能力和归纳的能力，而且以后碰到求正、反比例函数解析式的题时，用这种方法更简单，直接，减少错误率。六、应用感悟变式训练配套训练：1、如果正比例函数图像上一点的纵坐标与横坐标的比值是，那么正比例函数解析式是_2、如果反比例函数图像上一点的横坐标与纵坐标的乘积是-3，那么反比例函数解析式是_3、点P是反比例函数图像上一点，过P点分别向x轴与y轴做垂线与两坐标轴围成矩形面积是3，那么这个反比例函数图像的解析式是_4、已知，与成正比例，与成反比例，当x=2时，y=6；当x=0时，y=-2，求y关于x的函数解析式。学生通过刚刚得出的规律求第1、2、3题，第4题通过列二元一次方程，求出函数解析式。第1、2题是直接利用刚刚的规律得出函数解析式，第三题加大了难度，通过画图比较清楚，教师要教会学生如何画草图，第4题通过列二元一次方程，求出函数解析式。七、综合训练拓展提升1、已知反比例函数图像与的图像交于点A和点B，A点的坐标是（a，-2）（1）求反比例函数解析式；（2）求点B的坐标；（3）在y轴上是否存在点C，使得ABC的面积是6？若存在，求点C的坐标，如果不存在，请说明理由。 2、如图：正比例函数与反比例函数交于点A，从A向x轴、y轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4。（1）分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。（2）求出正、反比例函数图像的另外一个交点坐标。（3）求ODC的面积。学生思考练习这两题综合运用了正比例函数与反比例函数有关知识，提高学生综合应用的能力。