资源描述
2.),(),(1论不一定成立偏导数存在，则定理结偏导数连续减弱为在点中说明：若定理vuvuf例如例如:),(vufztvtu ,0)0 , 0()0 , 0(0)0 , 0()0 , 0(vvuufzfz，易知：2),(tttfz但，21ddtztvvztuuzdddd010100,22222vuvuvu,0022vu3( , )zf u v1),(ffvufuzuu2),(ffvufvzvv1122),(ffvufuzuuuu 21122112ffff 均连续时有和当122),(ffvufvuzuvuv 2222),(ffvufvzvvvv 212),(ffvufuvzvuvu 称为混合偏导数设设常用导数符号常用导数符号4推广推广:1、中间变量多于两个的情形、中间变量多于两个的情形. , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fffzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu52、 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形. ),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzvuyxyxxuuzxvvzyuuzyvvz6例例2. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx73、 中间变量只有一个的情形中间变量只有一个的情形 yxuufz,zuyxxududzxzyududzyz注: 由于 ufz 是一元函数，则它对u的导数应该采用一元函数的导数记号).(ufdudz或者8),(, ),(yxvvxfzxz121ffvffxvxyz22fvfyyfz xyx口诀口诀 :分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全导单路全导, 叉路偏导叉路偏导v4、中间变量本身又是自变量、中间变量本身又是自变量9例例3 3.,sin,),(2222yxzezyxfuzyx,.uuxy解解:xuyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyuyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzfyfyzzf可微，求f已知10.)()(522yxzufxyxfz 连续，求，且已知例yzyxz2)(22xyxfxy )1(22xy)(222xyxfxyxyz2解解2()yfxxxy211yxz2) (2xy21f 2222fxy .),(22yxzfxyxfz求具有二阶连续偏导数，且已知练习222( ,)zyyfxyxx解解2222fxyxyz12),(1zyxzyxf例例6. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 1f 2fyz),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf 12f 2fy zy121 f22f 21,ffyxyx(P79例4)13.,),(22yxzfxyxyfxz求具有二阶连续偏导，其中设练习:解解，令xyvxyu),(vufxz2fvuxyxyxzxf22xxvvfxuufyfxxyfxxfvu 2222)(14vuf yxf yxf22yxz2)()()(vuf yyxf yyfyx22)(vuffuvxyxyyvvfyuufx 2yvvfyuufyfuuuyvvfyuufyxfxvvv22vvuuvuf yxfxyfxf 32315二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 16可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.vvufuvufzvud),(d),(d17.,sin7yzxzdzyxvyxuvezu，求设例解解:)cos()sin(yxyxxeyxdvveduveveddzuuu)cos()sin()sin(dydxdvxdyydxyxddu)(而dyvexvedxveyvedzuuuu)cossin()cossin(yzxz)cos()sin(yxyxyeyx18例例8. 设2cosln4,.xzzzeyx ydzxy求解：利用微分形式的不变性有ddz )4lnln2cos(yxyexdxxyex)2cos(dyyyex)1sin(xyexzx2cosyyeyzx1sin
展开阅读全文