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2.1 无套利定价法无套利定价法 定义定义2.1：套利是同时持有一种或者多种资：套利是同时持有一种或者多种资产的多头或者空头，从而存在不承担风险产的多头或者空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个的情况下锁定一个高于无风险利率高于无风险利率的收益。的收益。 两种套利方法：两种套利方法：当前时刻净支出为当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益，将来获得正收益（收益净现值为正）净现值为正）当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为净支出为零（支出的净现值为0）。）。 无套利原则无套利原则：如果市场是有效率的话，市：如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。重新回到均衡的状态。注意：无套利并不需要市场参与的者一致行动，注意：无套利并不需要市场参与的者一致行动，实际上只要少量的理性投资者可以使市场无套实际上只要少量的理性投资者可以使市场无套利。利。在有效的金融市场上，市场在有效的金融市场上，市场不存在套利均衡不存在套利均衡。 案例案例 2-1 假设现在假设现在6个月即期年利率为个月即期年利率为10%（连续复（连续复利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12%。如。如果有人把今后果有人把今后6个月到个月到1年期的远期利率定年期的远期利率定为为11%，试问这样的市场行情能否产生套，试问这样的市场行情能否产生套利活动？利活动？ 答案是肯定的。答案是肯定的。6/30/20225 回顾：连续复利的概念回顾：连续复利的概念 若名义利率为若名义利率为r，一年（期）平均付息，一年（期）平均付息m次，次，则相应的有效利率则相应的有效利率rm为为(1)1lim1mrmmmrrrem 后者为连续复利，如果是后者为连续复利，如果是T年（期），则年（期），则(1)1lim1mTrTmmmrrrem 套利过程是：套利过程是：交易者按交易者按10%的利率借入一笔的利率借入一笔6个月资金（假设个月资金（假设1000万元）万元）签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按者可以按11%的利率，在的利率，在6个月后从市场借入资金个月后从市场借入资金1051万元（等于万元（等于1000e0.100.5）。）。按按12%的利率贷出一笔的利率贷出一笔1年期的款项金额为年期的款项金额为1000万元。万元。1年后收回年后收回1年期贷款，得本息年期贷款，得本息1127万元（等于万元（等于1000e0.121），并用），并用1110万元（等于万元（等于1051e0.110.5）偿）偿还还1年期的债务后，交易者净赚年期的债务后，交易者净赚17万元（万元（1127万元万元-1110万元）。万元）。1. 这是哪一种套利？这是哪一种套利？ 先看远期外汇定价的例子先看远期外汇定价的例子 目前货币市场上美元利率是目前货币市场上美元利率是6%，马克利率，马克利率是是10%；外汇市场上美元与马克的即期汇；外汇市场上美元与马克的即期汇率是率是1 美元兑换美元兑换1.8马克马克 (1:1.8) 问：一年期的远期汇率是否还是问：一年期的远期汇率是否还是1:1.8？无套利的定价法的原理：无套利的定价法的原理： 套利者可以借入套利者可以借入1美元，一年后要归还美元，一年后要归还1.06美元；美元； 在即期市场上，他用借来的在即期市场上，他用借来的1美元兑换成美元兑换成1.8马克马克存放一年，到期可以得到存放一年，到期可以得到1.98马克；马克； 在远期市场上套利者在购买在远期市场上套利者在购买1.8马克同时按照目前马克同时按照目前的远期汇率（的远期汇率（1:1.8）卖出）卖出1.98马克，换回马克，换回1.1美元。美元。 在扣除掉为原先借入的在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息美元支付的本息1.06美元美元之外，还有一个剩余之外，还有一个剩余0.04美元（美元（1.1美元美元-1.06美美元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取的无风险利润。显然，的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇不是均衡的远期外汇价格。价格。无套利的价格无套利的价格 无套利均衡的价格必须使得套利者处于这无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。响他的期初和期末的现金流量状况。 套利者借入套利者借入1美元后，如果不进行套利活动，美元后，如果不进行套利活动，他一年后将得到他一年后将得到1.06美元；如果他实施了美元；如果他实施了套利活动，他一年后将得到套利活动，他一年后将得到1.98马克。这马克。这两种情况都是从期初的两种情况都是从期初的1美元现金流出开始，美元现金流出开始，到期末时两个现金流入的价值也必须相等。到期末时两个现金流入的价值也必须相等。于是于是1.06美元美元=1.98马克，即马克，即1美元美元=1.8679马克。这个价格才是无套利的均衡价格。马克。这个价格才是无套利的均衡价格。 无套利的定价法的原理：无套利的定价法的原理： 无套利定价的关键技术是所谓无套利定价的关键技术是所谓“复制复制”技技术，即用一组证券来复制另外一组证券。术，即用一组证券来复制另外一组证券。 如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同，如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同，根据无套利原理，二者可以相互复制根据无套利原理，二者可以相互复制如果如果A资产（组合）的风险与资产（组合）的风险与B资产（组合）资产（组合）完全相同，则已知完全相同，则已知A资产的收益，就可以推断资产的收益，就可以推断B的收益，从而得到的收益，从而得到B的资产的定价。的资产的定价。案例案例2-2 无套利定价法运用到期权定价中无套利定价法运用到期权定价中 假设一种不支付红利的股票，目前的市价假设一种不支付红利的股票，目前的市价为为10元，我们知道在元，我们知道在3个月后，该股票价格个月后，该股票价格要么是要么是11元，要么是元，要么是9元。元。 假设现在的无风险年利率等于假设现在的无风险年利率等于10%， 问题：求一份问题：求一份3个月期执行价格为个月期执行价格为10.5元的元的该股票欧式看涨期权的价值。该股票欧式看涨期权的价值。 为了找出该期权的价值，为了找出该期权的价值， 可构建一个由可构建一个由一单位看一单位看涨期权空头涨期权空头和和单位的标的股票多头单位的标的股票多头组成的组合。组成的组合。若股票价格若股票价格=11，则该期权执行，则组合收益为，则该期权执行，则组合收益为11 -0.5若股票价格若股票价格=9，则该期权不执行，则组合收益为，则该期权不执行，则组合收益为9 为了使该组合在期权到期时无风险，为了使该组合在期权到期时无风险，必须满足必须满足下式：下式： 11 -0.59 ，即，即 =0.25 组合价值为组合价值为2.25元元 由于该组合中有一单位看涨期权空头和由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位单位股票多头，而目前股票市场价格为股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此，元，因此，从无套利出发，期权费从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足（期权的价值）必须满足元19. 225. 225. 01 . 0e10 0.252.190.31ff元 根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为险利率，所以组合的现值为无套利定价机制的主要特征无套利定价机制的主要特征 无套利定价原则要求套利活动必须在无风险状态下进行无套利定价原则要求套利活动必须在无风险状态下进行 在一个不存在套利机会的有效市场上，投资者可以建立在一个不存在套利机会的有效市场上，投资者可以建立起一个包含了衍生品（比如期权）头寸和基础资产（比起一个包含了衍生品（比如期权）头寸和基础资产（比如股票）头寸的无风险的资产组合。如股票）头寸的无风险的资产组合。 若数量适当，基础资产多头盈利（或亏损）就会与衍生若数量适当，基础资产多头盈利（或亏损）就会与衍生品的空头亏损（或盈利）相抵，因此在短期内该组合是品的空头亏损（或盈利）相抵，因此在短期内该组合是无风险的（理论上只对瞬间的时刻保持无风险，否则，无风险的（理论上只对瞬间的时刻保持无风险，否则，需要在这个资产组合中持续地调整基础证券与衍生证券需要在这个资产组合中持续地调整基础证券与衍生证券的投资比例）。的投资比例）。 根据无套利原则，无风险组合的收益率必须等于无风险根据无套利原则，无风险组合的收益率必须等于无风险利率。所以这个原理实际上表示了衍生证券的期望收益利率。所以这个原理实际上表示了衍生证券的期望收益率，基础证券的期望收益率和无风险利率之间的一个均率，基础证券的期望收益率和无风险利率之间的一个均衡条件衡条件无套利定价法的应用无套利定价法的应用 金融工具的模仿金融工具的模仿（mimicking ）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有金融工具具有相同或相似的盈亏状况相同或相似的盈亏状况。注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不同。同。 金融工具的合成金融工具的合成（compound）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有金融工具具有相同价值相同价值。合成是建立在模仿的基础上合成是建立在模仿的基础上案例案例2-3：模仿股票（：模仿股票（the mimicking stock) 模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的组合。组合。 假设假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和和pt，两个，两个期权的执行价格都是期权的执行价格都是XSt（t 时刻股票的价格），到期时刻股票的价格），到期日股票价格为日股票价格为ST。则到期日的收益为。则到期日的收益为()()max(0,)max(0,)() =()r T tTTttr T tTttRSXXScp eSXcp e股票股票模仿股票模仿股票模仿股票与实际股模仿股票与实际股票有所区别！票有所区别！ 表面上看，持有模仿股票似乎不合算表面上看，持有模仿股票似乎不合算 但下面的例子表明，模仿股票在财务杠杆方面的巨大优但下面的例子表明，模仿股票在财务杠杆方面的巨大优势，为风险偏好型的投资者提供了一个性质不同的投资势，为风险偏好型的投资者提供了一个性质不同的投资渠道渠道 假设一只股票现在的市场价格是假设一只股票现在的市场价格是10元，以该价格作为执元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是0.55元和元和0.45元。元。 一个投资者用一个投资者用10元钱采取两种方案进行投资元钱采取两种方案进行投资 方案一直接在股票市场上购买股票直接在股票市场上购买股票 方案二是用同样的资金购买模仿股票是用同样的资金购买模仿股票 10元钱可以购买元钱可以购买100个模仿股票个模仿股票 股票价格上升到10.5元时两个方案的比较 股票价格下跌到9.5元时两个方案的比较 期初投资净收益投资收益率方案一方案一方案二方案二10元元10元元10.5-10=0.5元元100*（10.5-10-0.1）=40元元5%400%期初投资净收益投资收益率方案一方案一方案二方案二10元元10元元9.5-10=-0.5元元100*（9.5-10-0.1）=60元元-5%-600%案例案例2-4 合成股票（合成股票（compound stock） 合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头、无风险债券多头一个看跌期权的空头、无风险债券多头Xe-r(T-t) ,实际是模仿股票和无风险债券的合成实际是模仿股票和无风险债券的合成 目的：消除模拟股票与股票之间的差异目的：消除模拟股票与股票之间的差异则组合的最终价值为则组合的最终价值为 max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST期初价值应相等：期初价值应相等： St=Ct-pt+ Xe-r(T-t) 2.2 风险中性定价法风险中性定价法 无风险资产的收益是确定的，其风险为零，而风无风险资产的收益是确定的，其风险为零，而风险资产的收益具有随机性险资产的收益具有随机性各种状态的出现具各种状态的出现具有一定的概率，故具有补偿风险的超额收益率。有一定的概率，故具有补偿风险的超额收益率。 启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的回报率等于无风险收益率回报率等于无风险收益率超额收益率为超额收益率为0。 风险中性定价原理风险中性定价原理：在这个改变了：在这个改变了概率概率的世界里，的世界里，所有证券的预期收益率都等于无风险利率所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。现值。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定由于风险中性，人们只关心收益不考虑风险由于风险中性，人们只关心收益不考虑风险风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 案例案例2-2风险中性定价法运用到期权定价中风险中性定价法运用到期权定价中假设一种不支付红利股票目前的市价为假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，元，我们知道在我们知道在3个月后，该股票价格要么是个月后，该股票价格要么是11元，要么是元，要么是9元。假设现在的无风险年利率元。假设现在的无风险年利率等于等于10%，现在我们要找出一份，现在我们要找出一份3个月期协个月期协议价格为议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的元的该股票欧式看涨期权的价值。价值。 在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为为P，下跌的概率为，下跌的概率为1-P。（虽然有实际的概率，。（虽然有实际的概率，但可以不管），如果风险中性，则该股票无超额但可以不管），如果风险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性世界的概率是收益，这个风险中性世界的概率是0.1 0.25(119(1)10,0.6266PP eP0.1 0.25(0.5 0.62660 0.3734)0.31fe 元n同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则期权的现值为期权的现值为n两种方法求得结果是等价两种方法求得结果是等价风险中性定价本质风险中性定价本质上仍是无套利定价。上仍是无套利定价。比较两种定价方法比较两种定价方法 假设一个无红利支付的股票，当前时刻假设一个无红利支付的股票，当前时刻t，股，股票价格为票价格为S，基于该股票的某个期权的价值，基于该股票的某个期权的价值是是f，期权的有效期是，期权的有效期是T，在这个有效期内，在这个有效期内，股票价格或者上升到股票价格或者上升到Su（u1），或者下降），或者下降到到Sd（1d0）。）。 当股票价格上升到当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收时，我们假设期权的收益为益为fu，如果股票的价格下降到，如果股票的价格下降到Sd时，期权时，期权的收益为的收益为fd。 SfuSufdSdf总结：无套利定价法的思路总结：无套利定价法的思路 首先，构造由首先，构造由股股票多头和一个看涨期权股股票多头和一个看涨期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的无风险时的值。值。 (2.1)ududSufSdfffSuSd 令，则 如果无风险利率为如果无风险利率为r，则该无风险组合的现，则该无风险组合的现值为值为()()(1)(1)r T tr T tr T tudr T tudededfeffududePfP f（）（）()()()()r T tr T tudSufeSdfe 在无套利假定下，构造组合的成本满足在无套利假定下，构造组合的成本满足()()(2.2)r T tuSfSufe 将（将（2.1）代入（）代入（2.2）整理得到）整理得到()r T tedPud总结：风险中性定价的思路总结：风险中性定价的思路 假定风险中性世界中股票的上升概率为假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股，由于股票的期望值按无风险利率贴现，其现值必须等于该票的期望值按无风险利率贴现，其现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得： ()(1)r T tSeSu PSdP()r TtedPud()(1)r T tudfePfP f 由上式可见，期权价值只与无风险利率、由上式可见，期权价值只与无风险利率、股票上涨（下跌）的幅度和时间有关，而股票上涨（下跌）的幅度和时间有关，而不依赖于股票上涨的不依赖于股票上涨的实际概率实际概率。这完全违。这完全违反直觉！反直觉！ 期权的价值依赖于标的资产的上涨（下期权的价值依赖于标的资产的上涨（下跌），但未来上升和下跌的概率已经包含跌），但未来上升和下跌的概率已经包含在股票的价格中！在股票的价格中！()(1)r T tudfePfP f ()r T tedPud2.3 状态价格定价技术状态价格定价技术 状态价格的定义状态价格的定义：指的是在特定的状态发生时回：指的是在特定的状态发生时回报为报为1，否则回报为，否则回报为0的资产在当前的价格。的资产在当前的价格。 状态价格定价技术：状态价格定价技术：如果未来时刻有如果未来时刻有N种状态，种状态，而这而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的知道某种资产在未来各种状态下的回报状况回报状况以及以及市场市场无风险利率水平无风险利率水平，我们就可以对该资产进行，我们就可以对该资产进行定价。定价。 该方法是无套利定价原则和证券复制技术的具体该方法是无套利定价原则和证券复制技术的具体运用。运用。 A是有风险证券，其目前的价格是是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其，一年后其价格要么上升到价格要么上升到uPA，要么下降到，要么下降到dPA (d1+rf=RAu) 这就是市场的两种状态：上升状态（概率是这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q）和）和下降状态（概率是下降状态（概率是1-q）(1)()(1)AAAAquPq dPE Rquq dP22()(1)()ARqq ud12() (1) ()ARqqud状态价格定价技术的原理状态价格定价技术的原理案例案例 2-5 1 1、构造两个基本证券（单位证券）。、构造两个基本证券（单位证券）。基本证券基本证券1在证券市场上升时价值为在证券市场上升时价值为1，下跌时，下跌时价值为价值为0；基本证券；基本证券1现在的市场价格是现在的市场价格是u u，基本证券基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为在下跌时价值为1。基本证券。基本证券2的价格是的价格是d d。 u和和d分别被称为上升状态的价格和下降状态分别被称为上升状态的价格和下降状态的价格的价格这两个基本证券的特征是，它们可以用来复制这两个基本证券的特征是，它们可以用来复制有风险的有风险的A证券证券 10u uq1-q01d dq1-qq1-quuPA+ddPA1uPA0dPAuPA0uPA1dPAdPAuPAdPAPAq1-qn 2、由基本证券模拟证券、由基本证券模拟证券A。购买购买uPA份基本证券份基本证券1和和dPA份基本证券份基本证券2组成一个假想的组成一个假想的证券组合证券组合根据无套利假设根据无套利假设 由此可见，该组合在由此可见，该组合在T时刻无论发生什么情时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券况，都能够产生和证券A一样的现金流，所一样的现金流，所以组合是证券以组合是证券A的复制品。的复制品。 根据无套利原理，复制品与被复制对象的根据无套利原理，复制品与被复制对象的市场价格应该相等，即市场价格应该相等，即 PA=uuPA+ddPA 或者或者1 uu+dd （2.3） 3、证明：在、证明：在T时刻无论出现什么状态，各时刻无论出现什么状态，各1个单个单位位(uPA= dPA=1)基本证券构成的组合的回报都是基本证券构成的组合的回报都是1元。元。()()1r T tr T tudee 因此，该组合是无风险的，它只能获得无因此，该组合是无风险的，它只能获得无风险收益率，若无风险收益率为风险收益率，若无风险收益率为r，则，则（2.4）q1-q1u+1d1101101111tT()()11,r T tr T tuddeueudud所以由（所以由（2.3）和（）和（2.4）联立得到）联立得到 1=uu+dd()r T tude决定基本证券价格的实际上就是决定基本证券价格的实际上就是3个因素：无风险个因素：无风险利率利率r,金融工具价格上升的速度金融工具价格上升的速度u和其价格下降的和其价格下降的速度速度d，同其他的因素就没有关系了，同其他的因素就没有关系了 结论：结论： 只要有具备上述性质的两个基本证券存在，只要有具备上述性质的两个基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。的任何有价证券定价。扩展二叉数模型。扩展二叉数模型。 关于有价证券的价格上升的概率关于有价证券的价格上升的概率q，虽依赖，虽依赖于人们作出的主观判断，但是人们于人们作出的主观判断，但是人们对对q认识认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。的分歧不影响为有价证券定价的结论。无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。 练习练习 假设有价证券的市场情况如下：假设有价证券的市场情况如下：PA100，r2，u1.07，d0.98，Tt1，若，若另外有一个证券另外有一个证券B，其价格，其价格1年后可能上升年后可能上升为为103，也可能下降为，也可能下降为98.5元，求该证券的元，求该证券的合理价格。合理价格。 提示：先求基本证券提示：先求基本证券1和和2，由基本证券来，由基本证券来复制证券复制证券B：uPB份的基本证券份的基本证券1和和dPB份的份的基本证券基本证券2。具体例子具体例子1：用基本证券：用基本证券1和和2来复制证券来复制证券B 假如有价证券假如有价证券A的市场情况如下：的市场情况如下：PA=100，r=2%，u=1.07, d=0.98，T-t=1, 可以求得：可以求得： 假设另一个证券假设另一个证券B，它在一年后的价格可能上升到，它在一年后的价格可能上升到103元，也可能下降到元，也可能下降到98.5元。那么，它当前的价格应该是元。那么，它当前的价格应该是 PB=uuPB+ddPB =0.4378103+98.50.5424=98.520.020.021 0.981.0710.4378,0.54241.070.981.070.98udee()()11,r T tr T tuddeueudud具体例子具体例子2：用：用现实中现实中的证券的证券A和无风和无风险证券来复制证券险证券来复制证券B 复制过程：用复制过程：用份证券份证券A和当前市场价值为和当前市场价值为L的无的无风险证券构成市场价值为风险证券构成市场价值为I的组合，其成本是的组合，其成本是I=100+L 一年后，该组合无论市场价格上升还是下降，都一年后，该组合无论市场价格上升还是下降，都必须与证券必须与证券B的价格相同。于是有的价格相同。于是有 解得解得=0.5,L=48.52 于是于是B现在的市场价值是现在的市场价值是I=100+L=1000.5+48.52=98.52()()107103,9898.5r T tr T tudILeILe 状态价格定价技术：两期的情况状态价格定价技术：两期的情况求求B现在的均衡价格？现在的均衡价格？解出解出U=0.49，Lu=50.76, 因此有因此有PBU=107U+Lu=102.99对右下方的二叉树，同理解出对右下方的二叉树，同理解出d=0.51，Ld=48.62, 因此有因此有PBd=98d+Ld=98.500.020.02114.49107.67104.86102.97uuuueLeL 使用倒推法，先从使用倒推法，先从B 的图形中右上部分开始。的图形中右上部分开始。在第在第1年末，假设市场处于上升状态，此时用年末，假设市场处于上升状态，此时用u份证券份证券A和和市场价值为市场价值为Lu的无风险证券来复制证券的无风险证券来复制证券B的组合，见图的组合，见图2.5。 107114.49104.86107U+Lu104.86U+e0.02Lu114.49U+e0.02Lu 最后，我们用最后，我们用份证券份证券A和价值为和价值为L的无风险证券的组合复的无风险证券的组合复制证券制证券B 同前例同理，解出同前例同理，解出=0.5,L=48.53,证券证券B的价值的价值PB=98.52 当二叉树模型由单期扩展到二期（或以上）时，需用动态当二叉树模型由单期扩展到二期（或以上）时，需用动态无套利的方法来解释这里涉及到的无套利的方法来解释这里涉及到的“自融资自融资”问题。在第问题。在第一期期末时一期期末时和和L发生变化：原是（发生变化：原是（，L）=（0.5,48.53）,现在是（现在是（0.49，50.76）,但证券组合价值未改变，因为有但证券组合价值未改变，因为有 107+e0.02L= PBU（=103）=107U+Lu状态价格定价法在期权定价中的应用状态价格定价法在期权定价中的应用 假设某股票符合前面提到的两种市场状态，假设某股票符合前面提到的两种市场状态，即期初价值是即期初价值是S0，期末价值是，期末价值是S1 S1只可能取两个值：只可能取两个值： S1=Su=uS0,u1 S1= Sd=dS0,d1 求：以该股票为标的资产的看涨期权的价求：以该股票为标的资产的看涨期权的价值是多少？值是多少？ 构造与看涨期权的价值特征完全相同的投资组合：构造与看涨期权的价值特征完全相同的投资组合： 以无风险利率以无风险利率r借入一部分资金借入一部分资金B（相当于做空无风（相当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票股标的股票 该组合成本为该组合成本为N S0-B 到了期末，该组合的价值到了期末，该组合的价值V是是N S1-RB，R是利率是利率 对应于对应于S1的两种可能，的两种可能，V有两个取值：有两个取值： S1=Su,则则V=Vu= N Su-RB S1=Sd, 则则V=Vd= N Sd-RB。 令到期日组合的价值与看涨期权的价值相令到期日组合的价值与看涨期权的价值相同同 解得解得()()e,e.uur T tuddr T tdVNSBcVNSBc0()()()()/()()/(),()/()()()/()udududduududr T tddr T tudr T tNccSSccud SBS cS cSSeNScedcuceud 由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有即有N S0-B=c0,把把N和和B 代入，得到看涨期代入，得到看涨期权的价值公式权的价值公式 c0=pcu+(1-p)cde-r(T-t) p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。0()()/(),()/()ududr T tNccud SBdcuceud具体例子具体例子 假设一份看涨期权，到期日为假设一份看涨期权，到期日为1年，执行价格年，执行价格X是是112元；标的股票当前的价格是元；标的股票当前的价格是100元，无风险利率（单元，无风险利率（单利）是利）是8%。1年后，股票的价格或是上升到年后，股票的价格或是上升到180元，元，或是下降到或是下降到60元。元。 根据上述公式，得到：根据上述公式，得到： N=（68-0）/（180-60）=0.57（股）（股） B=（0.5760-0）e-0.08=31.57（元）（元） c0=NS0-B=0.57100-31.57=25.430()()()/()()/(),()()/()udududddr T tudr T tNccSSccud SBNScedcuceud2.4 积木分析法积木分析法 从应用的角度，在为金融资产定价时，金从应用的角度，在为金融资产定价时，金融工程主要运用积木分析法融工程主要运用积木分析法 积木分析法积木分析法也叫模块分析法，指将各种金也叫模块分析法，指将各种金融工具进行分解和组合，以解决金融问题。融工具进行分解和组合，以解决金融问题。 积木分析法主要以图形来分析收益积木分析法主要以图形来分析收益/风险关风险关系以及金融工具之间的组合系以及金融工具之间的组合/分解关系分解关系 多头金融价格风险多头金融价格风险 当金融价格当金融价格P增加时，交易者价值也随之增加，反之，增加时，交易者价值也随之增加，反之，则随之减少。称这种情况为多头金融价格风险，因为这类则随之减少。称这种情况为多头金融价格风险，因为这类风险类似于金融资产的多头交易。风险类似于金融资产的多头交易。 空头金融价格风险空头金融价格风险当金融资产价格上升时，交易者处于不利的地位。我们称当金融资产价格上升时，交易者处于不利的地位。我们称这类风险为空头金融价格风险这类风险为空头金融价格风险 利用多头远期合约规避空头风险利用多头远期合约规避空头风险 期权交易的四种损益图（不考虑期权费）期权交易的四种损益图（不考虑期权费）期权损益图 运用多头看跌期权对多头风险保值运用多头看跌期权对多头风险保值 运用多头看涨期权对空头风险保值运用多头看涨期权对空头风险保值 金融工程常用的六类积木金融工程常用的六类积木PV PV PV PV 多头看涨空头看跌空投看涨多头看跌1、看涨期权多头看跌期权空头远期多头、看涨期权多头看跌期权空头远期多头（期权与远期的关系）（期权与远期的关系）PV PV PV 不考虑期权费不考虑期权费六类积木的相互转化六类积木的相互转化PV PV PV 不考虑期权费不考虑期权费2、看涨期权空头看跌期权多头远期空头、看涨期权空头看跌期权多头远期空头（期权与远期的关系）（期权与远期的关系）3、标的资产多头看跌期权多头看涨期权多头、标的资产多头看跌期权多头看涨期权多头PV PV PV 不考虑期权费不考虑期权费4、标的资产多头看涨期权空头看跌期权空头、标的资产多头看涨期权空头看跌期权空头PV PV PV 不考虑期权费不考虑期权费5、标的资产空头看涨期权多头看跌期权多头、标的资产空头看涨期权多头看跌期权多头PV PV PV 不考虑期权费不考虑期权费6、标的资产空头看跌期权空头看涨期权空头、标的资产空头看跌期权空头看涨期权空头PV PV PV 不考虑期权费不考虑期权费 以上分析表明：以上分析表明：6类基本积木，都可以由其类基本积木，都可以由其他的两种积木来复制他的两种积木来复制当存在多头金融价格风险时，可以运用多头看当存在多头金融价格风险时，可以运用多头看跌期权来保值。跌期权来保值。这意味者二者的组合是看涨期权多头这意味者二者的组合是看涨期权多头当存在空头金融价格风险时，可以运用多头看当存在空头金融价格风险时，可以运用多头看涨期权来保值。涨期权来保值。这意味着二者的组合是看跌期权多头这意味着二者的组合是看跌期权多头远期交易完全可以用两个期权组合来复制。远期交易完全可以用两个期权组合来复制。66 结束语结束语
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