方程教学的心得

小学方程教学的思考东风中心小学 袁永松方程作为一种重要的数学思想方法 ，它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展数学素养有着非常重要的意义；同时，方程作为一种重要的计算工具，也是学生进一步学习数学和进行其他学科学习的基础。在课程标准中对义务教育阶段的不同时期关于方程的教学提出了不同的要求，但是由于受传统教学经验的影响，使相当一部分的一线教师对方程教学的目标还停留在解方程上，对方程思想存在着根本上的误解，在实践方向上还有一定的偏差。那么作为小学教师，如何根据学生的身心发展特点，把握好学生对方程内容的学习与探索的深度呢?笔者认为主要应该从以下几方面进行探讨：一、流失了引入未知数的“需求”意识 引入未知数的想法应当是在算术方法感到黔驴技穷的情形下去萌发、催生.算术思维强调从已知数出发,对已知信息进行思维直接加工获得算式答案.在列式时,学生往往以抽象思维的形式进行,启发思维的工具最多是靠线段或面积分析图,遇难一点问题时,甚至要发挥“超级想象”才能获得正确的算式。由于算术方法缺乏对问题很好展开、表述和分析的“言传”工具,只能靠抽象的“意会”行事.这种几乎依赖记忆与想象,对已知数量分析、加工处理的方法,虽有时闪现奇思妙想异彩,但最终因承负信息容量有限和转化问题手段的局限,用之不宽和活而不泛而穷途末路。 诚然,小学阶段已接触到方程解决问题的方法,却是将它与算术方法置于平行的位置上进行,既考虑到算术方法对培养数感和垒实数学基础的价值,又放眼于未来发展之需，培养学生适应于用方程解决问题的代数思维。小学时,提出的问题一般较为简单,通常两种方法都可以解决,体会用两种不同的思维方式解决问题,但真正让他们领略方程的代数思维超越算术思维,应当还是在初中。可是，无论是我自身上课还是在听课中都发现:教师往往先讲问题的算术解法,然后再导入方程解决问题的方法,给学生印象：方程作为代数的新思维是与算术思维等效的,只不过是换一个“玩法”的新玩意。我认为:只有在挑战新问题时,让算术思维显出窘迫,学生才能领略:未知数的引入会带来数学思维语言的发展,它便于我们对数学思维延续、拓展和表述,有了它,数学思维便有了“唱歌起舞”的愉悦感.。二、流失了“有用的未知数”意识不少学生在列方程解决实际问题时,设出未知数后,不会列出方程,或列出的方程总是“残废”.究其因,这些学生还没有真正掌握:如何活用含未知数的代数语言去思维和表达问题.回顾一些课堂教学,我觉醒于一个重要的教学环节：教师往往不注重训练学生,如何用一个关键的所设未知数x,穷尽题中的数量关系,更多地去表达问题中其他的隐性未知量.教师仅有选择地关注：哪些对列出方程有用的隐性未知量才去用含未知数x的代数式表示,这种只认“娘舅”而不识“姑嫂”的“认亲”方式,制约了学生代数思维语言的能力发展.联系与转化这一重要的数学思想,应尽可能体现在：用一个“不知道”去表达更多的“不知道”,这恰恰是代数语言优势所在.。正确地引导学生发现什么是最关键的“不知道”,这是方程应用教学的一个重要环节.它不仅体现对各种数量关系梳理的审题意识,而且是对出现问题中各种未知量有一个地位、价值的思辨过程,找到了关键、核心的未知量,就奠定了方程建模的基石.不同的未知量,在问题中发挥代数思维的“作战半径”不一样.方程建模的“建”,就是数量关系的构造与展示,选择设关键的“不知道”为未知数,就是找到方程建模最合适的“建材”.我们经常发现,学生只要问题问什么就设什么,可能造成无法列出方程的被动,这正是对有用的“未知数”价值甄别的意识缺失。三、实际教学的过程中，还是产生了许多的问题：1、作为方程的初步认识，在五年级教材中安排的全是一步方程，用来解决一步计算的实际问题，这样的安排忽视了学生对学习内容的主观需求。因为虽然用算术方法需要一定的逆向思考，但是比起列方程解决问题那么繁杂的书写步骤与计算中错误机会的增加，学生更喜欢用算术方法来解决这样的问题，如果让学生自己选择，列方程在这儿绝对不会成为首选方法。可见这部分内容的编排缺乏对学生学习需求的客观认识，不能让学生充分体会方程的价值。 2、综观国标版数学教材的内容安排，五年级教学方程的初步认识有点“绕弯子走回头路”的倾向。如前所述，教材十分关注方程在解决逆向思维问题时的独特优势，然而由于这些反叙述问题对培养学生逆向思维能力有着十分重要的作用，从低年级开始，结合计算教材就十分关注对逆向思维问题的教学，如一年级下学期我们就曾经将“求原来是多少”、“比什么多（少）多少”的问题作为重点内容单独进行教学；四年级又结合倍数和因数的教学，重点研究了“是什么的几倍”的实际问题；五年级时作为解决问题的重要策略，利用一个单元来介绍逆推法；等等。总之，为了让学生理解这些逆向思维问题的基本思路及数量关系，教师可谓煞费苦心，使之逐步成为学生解决问题的一种基本思想方法。而正因为学生的印象如此深刻，在教学方程的过程中，当教师有意识地让学生寻找适当的数量关系来列方程的时候，又要把本来已经初步形成的逆向思维，硬扭回来转为顺向，这成为一项重大工程，花费了许多时间，大多数学生还说不清楚。最后教师只能生硬地告诉学生未知的那个条件不能单独放在方程的一边，一般情况下要与其他条件一起放在方程左边，学生才能找到一些小窍门，高兴之余不免要埋怨这样的“绕弯子”方法。3、有些配套练习题的编写没有充分领会教材的精神，有时会忽略对题目类型的把握，许多顺向思考的问题也让学生来列方程，反而增加了学生思考的难度，使学生对方程价值的认识产生了混淆。 可见，在这里方程作为一种重要数学方法的价值没有得到很好的体现，失却了其本身在数学中的重要地位。四、小学数学解方程教学的思考1、对新旧教材解方程方法不同的比较思考 在数学课程标准中对于方程有着这样的要求:“能够根据具体问题中的数量关系,列出方程。体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。”在建立实际问题的数与代数模型时,字母(表示数)符号是基本的数学语言。用x表示实际问题中的未知量,通过分析问题中已知量与未知量的相等关系,“翻译”成表示未知数和已知数之间相等关系的方程,即得到刻画实际问题的相等关系的数学模型。长期以来,在小学阶段教学简易方程,方程变形的依据总是根据运算之间的关系,这实际是用算术的思路求未知数。而在新课程标准指导下的解方程,则要求学生探索、理解等式的基本性质,再应用等式的基本性质解方程。新教材利用“天平原理”为处理方程提供了一个强有力的智力图像:方程类似于一组天平,方程的等号表示处于平衡状态,用天平平衡的道理,形象直观地帮助学生深化对“相等关系”的理解,让学生明白:在等式的两边同时进行相同的运算,那么平衡就得到维持,即为等式的基本性质:方程两边同时加上或减去相同的数,左右两边仍然相等;方程两边同时乘或除以相同的数(0除外),左右两边仍然相等。旧解法中学生须牢记加、减、乘、除四种运算中的数量关系等式,而数量关系等式的总数达10个,即:加数+加数=和;一个加数=和-另一个加数;被减数-减数=差;被减数=减数+差;减数=被减数-差;因数因数=积;一个因数=积另一个因数;被除数除数=商;被除数=商除数;除数=被除数商。记住四种运算中各部分的名称与数量关系等式,对学生来说绝非易事,根据教者以往经验,许多小学生直至毕业仍为数量关系等式犯糊涂,解方程时算法经常是错误百出。而新教材中的解法只需记住“同加、同减、同乘、同除”几个字,比旧教材根据逆运算关系解方程,思路更统一,方法更简单。学生理解得特别好,掌握的程度很高。利用等式的基本性质解方程的优越性还体现在有利于中小学数学教学的衔接,较为彻底地避免旧教法中同一内容两种思路、两种算理解释的现象。但现实中也有不少的老师还不认同这种新教法,固守陈规,新教材、老教法,仍抱住用算术的思路求未知数。殊不知到中学时学生又要另起炉灶,其小学的思路及其算法掌握得越牢固,对中学代数起步教学的负迁移就越明显。对成人而言,在解决实际问题特别是稍复杂的问题时,往往选用的就是方程解法,而算术解法往往从方程解法推导而出,这就体现出列方程解决问题时常常可以化逆向思维为顺向思维的优势。从长远来看,我们教师需要端正思想,提高认识,从学生的可持续发展出发,让学生在数学思想方法认识上有一个新的飞跃。2、对形如a-x=b和ax=b的方程思考在简易方程中,学生最先接触到的是形如x+a=b、x-a=b、ax=b、xa=b四种基本型,对于方程a-x=b、ax=b则加以回避。但在教学实际中,学生对于列出此类方程则无法避免。如人教版教材第59页1题,学生除列出x+1.2=4和3x=8.4外,还列出4-x=1.2、8.4x=3。对于出现-x=b、x=b类型方程时,我是这样处理的。首先,学生头脑中须牢固建立“天平原理”即“等式的基本性质”,要求人人都会解答形如x+a=b、x-a=b、ax=b、xa=b的方程。出示一组方程:3.2+x=4.6 ;x-1.8=4;1.6x=6.4;x7=0.3。让学生解答,并说出每一步的解答过程。接着再出示:17-x=15;6x=2。师：:同学们找一找这两个方程与刚才的4个方程有相同的吗?生:：未知数在运算符号的后面,与方程、相似。 师:：那同学们看方程和方程还可变成什么形式?生：2:方程还可变成x+3.2=4.6,方程可变成x1.6=6.4。运用加法交换律和乘法交换律,将方程与变形。学生发现方程、和方程、不同,不能从未知数的位置来进行判断。师:：那方程与方程,方程与方程分别又有什么联系呢?学生很快发现每组方程运算符号分别相同;方程的未知数是被减数,方程的未知数是减数;方程的未知数是被除数,方程的未知数是除数。 通过上述观察对比,让学生牢记了不相同的另两种类型:a-x=b、ax=b。然后统一算法,提示学生运用天平原理来解题。学生知道17-x=15要在方程两边同时加一个数。有的提出要同时加17,师生演算发现,方程17-x=15变成了34-x=32,没有让方程的一边只剩下x。马上又有学生提出来要同时加x,于是顺利得到下列解法:17-x=15解:17-x+x=15+x17=15+x15+x=1715+x-15=17-15x=2按此思路,又顺利地迁移到6x=2的解法: 6x=2解:6xx=2x6=2x 2x=62x2=62x=3最后小结:x-a=b与a-x=b的算法相同,方程两边同时加一个数;xa=b与ax=b方程两边同时乘一个数。这个数可以是具体数值(已知数),也可以是字母(未知数)。基于学生的“已经会什么?还想学什么?”找准学生学习知识的“最近发展区”,让学生通过亲历数学模型的建构,照样学得轻松,学得着迷;教师不必完全拘泥于教师用书的要求,对a-x=b和ax=b的类型刻意加以回避。3、对形如axb=c类型方程的应用题的思考对于稍复杂的方程,如人教版教科书第65页例1:足球上的白色皮共有20块,比黑色皮的2倍少4块,共有多少块黑色皮?教材上列出的数量关系等式是:黑色皮的块数2-白色皮的块数=4,列出的方程是2x-20=4。在这里,应让学生展开思维的翅膀,列出不同的数量关系等式。除去教材中所列的数量关系等式,学生还能列出:黑色皮2-4=白色皮块数;白色皮块数+4=黑色皮2。而哪一个数量关系等式最能体现方程顺向思维的优越性呢?将题目中的文字“白色皮比黑色皮的2倍少4块”稍加整理为“黑色皮的2倍少4块是白色皮”,学生就都优化选择了第个数量关系等式,很快地列出了方程:2x-4=20。而对书上的解法只要求稍作了解。因为像这类列出方程axb=c的应用题的顺向思维就是求比一个数的几倍多(或少)几的数是多少。让学生见到所求未知数的几倍就是x乘几,多几就加几,少几就减几,与以前学的求比一个数的几倍多(或少)的数是多少的算法做到相统一。这让学生进一步体会到列方程解决问题的优越性,使学生在掌握新的解决问题思考方法的过程中开阔了思路,根据问题特点灵活选择比较简便的算法,有助于在培养学生解决实际问题能力的同时,培养学生思维的准确性与灵活性。 方程教学中仍有不少珍藏着的数学意识亟待挖掘，数学意识是形成数学思想方法的先导，我们应去钻探方程知识平实表层下深藏着的数学意识，去开采、提炼，滋养学生的数学思想。