秦飞编著《材料力学》第6章 弯曲内力

秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学PPT PPT 讲义讲义 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力2o 6.1 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩 o 6.2 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 o 6.3 剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系o 6.4 静定平面刚架和曲静定平面刚架和曲杆的内力图杆的内力图 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力3当杆件承受垂直于其轴线的当杆件承受垂直于其轴线的外力或外力偶矩时，其外力或外力偶矩时，其轴线由直轴线由直线变为曲线，这种变形称为线变为曲线，这种变形称为弯曲变形弯曲变形或简称或简称弯曲弯曲。以弯曲为主以弯曲为主要变形方式要变形方式的杆件称为的杆件称为梁梁秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力4梁的支反力能用静力平衡条件完全确定的梁，称为梁的支反力能用静力平衡条件完全确定的梁，称为静定梁静定梁(statically determinate beam)。根据支座形式，静定梁可分根据支座形式，静定梁可分为三种常见形式：为三种常见形式：（1 1）简支梁：）简支梁：可动铰支座可动铰支座固定铰支座固定铰支座秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力5（2 2）悬臂梁：）悬臂梁：梁梁的一端的一端为为固定端固定端，另一端，另一端为为自由端自由端。（3 3）外伸梁）外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外。：简支梁的一端或两端伸出支座之外。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力6 梁的横截面一般具有一竖向对称轴，该轴与梁轴线构成梁的梁的横截面一般具有一竖向对称轴，该轴与梁轴线构成梁的纵纵向对称面向对称面。 在弯曲后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的变形称为在弯曲后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的变形称为平面平面弯曲弯曲(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。发生平面弯曲。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力7梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法截面法确定。确定。（1）截截：在横截面：在横截面m-m处假想地将梁分为两段处假想地将梁分为两段原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力8（2）代代：取左段为研究对象，右段取左段为研究对象，右段梁对左段梁的作用以截开面上的内力梁对左段梁的作用以截开面上的内力来代替。来代替。为使左段梁保持平衡，在其右端横截面为使左段梁保持平衡，在其右端横截面m-m上，必然上，必然存在两个内力分量：存在两个内力分量：FS，M。内力内力FS与截面相切，称为与截面相切，称为剪力剪力(shear force)；内力偶矩；内力偶矩M称为称为弯矩弯矩。（3）平平：由：由力平衡方程：力平衡方程：0yF可确定剪力可确定剪力FS由力矩平衡：由力矩平衡：0OM可确定可确定弯矩弯矩M秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力9剪力剪力：使得梁微段：使得梁微段dx有发生顺有发生顺时针转动趋势的剪力为正时针转动趋势的剪力为正, ,反反之为负。之为负。“左上右下左上右下为为正正”弯矩弯矩：使得梁微段发生上凹下凸：使得梁微段发生上凹下凸变形的弯矩为正，反之为负。变形的弯矩为正，反之为负。“上凹下凸上凹下凸为为正正”秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力10外伸梁受载荷作用如图所示。截面外伸梁受载荷作用如图所示。截面1-1和和2-2都无限接近于支都无限接近于支座座A，截面，截面3-3和和4-4也都无限接近于截面也都无限接近于截面D。试求截面试求截面1-1、2-2、3-3和和4-4的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。解解:（1）计算支座反力）计算支座反力由力矩平衡，由力矩平衡，得：得：负号负号表示计算前假设的反力方向与实际的相反。表示计算前假设的反力方向与实际的相反。4/5FFAy4/FFBy秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力11（2） 计算截面计算截面1-1的内力的内力 由静力平衡方程由静力平衡方程 ：（3）计算截面）计算截面2-2的内力的内力 由静力平衡方程得由静力平衡方程得 ：0yFFF1S0OM2Fl+M1=0，得M1=-2Fl4/2SFFFFAyM2=-2Fl秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力12（4）计算截面计算截面3-3的内力的内力 由静力平衡方程得由静力平衡方程得 ：（5）计算截面）计算截面4-4的内的内 由静力平衡方程得由静力平衡方程得 ：4/3SFFFBy2/32e3FllFMMBy4/-4SFFFBy2/24FllFMBy秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力13讨论讨论：（1）比较截面比较截面1-11-1和和2-22-2上的内力上的内力（2 2）比较截面）比较截面3-33-3和和4-44-4上的内力上的内力结论结论：集中力的两侧截面剪力发生突变，弯矩相同：集中力的两侧截面剪力发生突变，弯矩相同; ;集中力偶集中力偶两侧横截面上剪力相同，而弯矩发生了突变。突变量大小？两侧横截面上剪力相同，而弯矩发生了突变。突变量大小？FF1S4/2SFF两者剪力相差两者剪力相差4/5FFAyM1=M2=-2Fl弯矩相等弯矩相等4/S43SFFF2/33FlM2/4FlM两者剪力相等，弯矩相差两者剪力相等，弯矩相差 Me=FL秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力14计算剪力计算剪力和弯矩的简便方法：和弯矩的简便方法：n 梁某截面上的剪力梁某截面上的剪力FS等于截面左侧或右侧所有外力的等于截面左侧或右侧所有外力的代数和，代数和，外力的正负号遵照剪力的正负号约定外力的正负号遵照剪力的正负号约定。n 梁某截面上的弯矩梁某截面上的弯矩M等于截面左侧或右侧梁上所有外等于截面左侧或右侧梁上所有外力对该截面形心力对该截面形心O的力矩的代数和，其的力矩的代数和，其正负号遵从弯矩正负号遵从弯矩的正负号约定的正负号约定。下面通过例题说明。下面通过例题说明。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力15 外伸梁所受载荷如图外伸梁所受载荷如图所示，所示，试求截面试求截面C、支座支座B左截面和右截左截面和右截面上的剪力和弯矩。面上的剪力和弯矩。解：（解：（1）计算约束反力）计算约束反力)(kN2AyF)(kN4ByF秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力16 （2）计算指定截面上的剪力和弯矩）计算指定截面上的剪力和弯矩 截面截面C（以梁左半边为研究对象）（以梁左半边为研究对象）： kN2SAyyCFFFmkN4-2meMFMMAyOCC C截面左侧的力：截面左侧的力：)(kN2AyFC C截面左侧的力矩：截面左侧的力矩：2m*AyFm8kNeM(+)(+)(-)秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力17 B左截面左截面kN2-SByBFFF左kN2S FFB右m-4kN2mFMB左m-4kN2mFMB右 截面截面B（以梁右半边为研究对象）（以梁右半边为研究对象）：kN2F4kNByF(+)(-)2m)（F(-)B右截面右截面秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力18一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的化的。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标x表示，则各横截表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即的函数，即绘制表绘制表示示FS(x) 和和M(x)的图线，分别称为的图线，分别称为剪力图剪力图(shear force diagram)和和弯矩图弯矩图(bending moment diagram)。SS( )FF x剪力方程剪力方程(equation of shear force)弯矩方程弯矩方程(equation of bending moment)( )M M x秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力19 图示悬臂梁受集中力图示悬臂梁受集中力F作用，作用，试写出梁的剪力方程和弯矩方试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。程，并作剪力图和弯矩图。解解：(1)以梁左端以梁左端A点为轴点为轴坐标原点，列剪力方程和坐标原点，列剪力方程和弯矩方程：弯矩方程：FxF-)(SFxxM-)()0lx （)0lx （秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力20(2) (2) 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。注意注意：画图时应将剪力图、弯矩图画图时应将剪力图、弯矩图与计算与计算简图对齐简图对齐，并注，并注明图名明图名（FS图、图、M图）、图）、峰值点峰值点的的值及正负号值及正负号。 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力21简支梁受均布载荷作用，作此梁的剪力图和弯矩图。如果简支梁受均布载荷作用，作此梁的剪力图和弯矩图。如果把均布载荷静力等效为一个集中力，对剪力图和弯矩图有把均布载荷静力等效为一个集中力，对剪力图和弯矩图有什么影响？什么影响？ 解解:(1) 求支座反力：求支座反力：/ 2( )AyByFFql 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力22(2) 列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：S( )/2AyF xFqxqlqx(0)xl22111( )222AyM xF xqxqlxqx(0)xl(3) 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力23(4) 将均布载荷等效为集中力将均布载荷等效为集中力F， 画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图比较发现，等效后：比较发现，等效后： 剪力最大值与原来相同，但剪剪力最大值与原来相同，但剪力分布发生了较大改变。力分布发生了较大改变。 弯矩沿轴线的分布从二次曲线弯矩沿轴线的分布从二次曲线变为线性分布，且最大值增大了变为线性分布，且最大值增大了一倍。一倍。可见，在变形体力学中，可见，在变形体力学中，不能随意对载荷进行静力等效处理不能随意对载荷进行静力等效处理。 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力24如图所示简支梁受集中力如图所示简支梁受集中力F F作用如，作此梁的剪力图和弯矩作用如，作此梁的剪力图和弯矩图。如果力图。如果力F F在梁上是可以移动的，试问当在梁上是可以移动的，试问当F F在什么位置时梁在什么位置时梁的弯矩最大？的弯矩最大？ 解解:（1）求支座反力）求支座反力，得，得( ),( )AyByFbFaFFll（2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程 AC段：段： S/ (0)( )/ (0)AyAyF xFFb lxaM xF xFbx lxa（ ）= 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力25CB段：段：S/AyF xFFFa l （ ）()axl( )()(1/ )AyM xF x F x aFax l()axl（3）作剪力图和弯矩图）作剪力图和弯矩图 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力26（4 4）当）当F从左向右移动时，最大剪力的位置也跟随从左向右移动时，最大剪力的位置也跟随F F从左向从左向 右移动；移动过程中，最大剪力为右移动；移动过程中，最大剪力为F，发生在两个支座处。，发生在两个支座处。 弯矩图的峰值也跟随弯矩图的峰值也跟随F F从左向右移动；当从左向右移动；当F F移动到梁中点移动到梁中点 时，弯矩图的峰值达到最大，为时，弯矩图的峰值达到最大，为 Fl/4 。 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力27例题例题6-4中：中：比较发现：比较发现：d1d2Mqlqxx即剪力方程即剪力方程S( )/2F xqlqx剪力方程剪力方程211( )22M xqlxqx弯矩方程弯矩方程qxFddS即载荷集度即载荷集度q这种关系是否普遍适用？这种关系是否普遍适用？秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力28如图所示的直梁上作用有任意分布载荷，以梁的左端为坐如图所示的直梁上作用有任意分布载荷，以梁的左端为坐标原点，取标原点，取x轴向右为正，轴向右为正，x处的载荷集度为处的载荷集度为q(x)，并规定并规定向上的向上的q(x)为正为正。 现用坐标现用坐标x和和x+dx的两个相邻平面的两个相邻平面m-m、n-n截取梁微段截取梁微段。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力29微段上，载荷微段上，载荷q(x)可视为均匀分布，可视为均匀分布，左截面上内力为左截面上内力为FS(x)和和M(x)，右，右截面上则为截面上则为FS(x)+dFS(x)和和M(x)+dM(x)，并假设内力均为正，并假设内力均为正值值。列梁微段的力平衡方程：列梁微段的力平衡方程： SSS 0:( )( )d( )d( )0yFF xq xxF xF xSd( )( )dF xq xx 整理得：整理得：秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力30d0( )d( )( )( )d( )d02OSxMM xM xM xF xxq xx：22d( )( )dM xq xx对梁微段右截面形心对梁微段右截面形心O取矩，则力矩平衡方程为：取矩，则力矩平衡方程为：Sd( )( )d( )M xF xx略去高阶微量得：略去高阶微量得： 将将代入上式得：代入上式得：Sd( )( )dF xq xx秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力31由微分关系可知：由微分关系可知：剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的载荷集度；弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪处的载荷集度；弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力；二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸。力；二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸。Sd( )( )dF xq xxSd( )( )d( )M xF xx22d( )( )dM xq xx此三式称为弯矩、剪力和载荷集度的此三式称为弯矩、剪力和载荷集度的平衡微分关系平衡微分关系或或平衡平衡方程方程，是梁微段处于静力平衡状态的必然要求是梁微段处于静力平衡状态的必然要求。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力32 均布载荷均布载荷q作用下的梁段作用下的梁段 剪力图剪力图(shear force diagram)：若：若q方向向下，则剪力图为方向向下，则剪力图为下斜直线；若下斜直线；若q方向向上，则剪力图为上斜直线。方向向上，则剪力图为上斜直线。 弯矩图弯矩图(bending moment diagram)：若：若q方向下，则弯矩方向下，则弯矩图为开口向下抛物线；若图为开口向下抛物线；若q方向向上，则弯矩图为开口向上方向向上，则弯矩图为开口向上抛物线。抛物线。 剪力图、弯矩图的形状特征与载荷的关系剪力图、弯矩图的形状特征与载荷的关系 无任何载荷作用的梁段无任何载荷作用的梁段 剪力图剪力图：为水平线，即在该梁段剪力为常量。：为水平线，即在该梁段剪力为常量。 弯矩图弯矩图：直线。：直线。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力33 集中力作用的梁截面集中力作用的梁截面 剪力图剪力图：在该截面有：在该截面有“跳跃跳跃”，跳跃方向与集中力的方，跳跃方向与集中力的方 向一向一 致，致， 跳跃的数值等于该集中力的大小。跳跃的数值等于该集中力的大小。 弯矩图弯矩图：在该截面发生转折，即斜率发生改变。：在该截面发生转折，即斜率发生改变。 力偶矩作用的梁截面力偶矩作用的梁截面 剪力图剪力图：无变化。：无变化。 弯矩图弯矩图：在该截面处有：在该截面处有“跳跃跳跃”，顺时针方向的力偶矩，顺时针方向的力偶矩 向上跳，向上跳， 逆时针方向的力偶矩向下跳；跳跃的数值等于逆时针方向的力偶矩向下跳；跳跃的数值等于 该力偶矩的大小。该力偶矩的大小。 剪力图、弯矩图的形状特征与载荷的关系剪力图、弯矩图的形状特征与载荷的关系秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力34均布载荷均布载荷无载荷无载荷集中力集中力力偶力偶剪力剪力斜线，与斜线，与荷载同方荷载同方向向水平线水平线跳跃，与荷跳跃，与荷载同方向载同方向无变化无变化弯矩弯矩抛物线，抛物线，开口与载开口与载荷同方向荷同方向直线直线转折，斜率转折，斜率发生改变发生改变顺时针上顺时针上跳，逆时跳，逆时针下跳针下跳剪力图、弯矩图的形状特征与载荷的关系汇总剪力图、弯矩图的形状特征与载荷的关系汇总 剪力图、弯矩图的形状特征与载荷的关系剪力图、弯矩图的形状特征与载荷的关系秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力35 作图示简支梁的剪力图作图示简支梁的剪力图和弯矩图和弯矩图，并求出，并求出 和和 。maxSFmaxM解解I ：（1）计算支反力）计算支反力)( qaFAy)(2 qaFDy（2）将梁分成）将梁分成AB、BC和和CD三个区段三个区段 AB段段: qaFFAySax 0qaxxFMAyax 0秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力36BC段段: : )2()(SxaqaxqFFAy)/2()/2)(22axqaxaxqxFMAyaxa2axa2CD段段: )()(SxaqFaxqFFAy)/2()/2)(22axqaxaxqxFMAyaxa32axa32 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力37（3） 按照各段梁的剪力、弯矩方程按照各段梁的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图画出剪力图和弯矩图 :（4）计算剪力和弯矩的最大值）计算剪力和弯矩的最大值Smax2Fqa2max23qaM 上述解法麻烦、易错！上述解法麻烦、易错！秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力38解解II：（：（1）计算支反力）计算支反力 ）（ qaFAy）（ qaFDy2（2）将梁分为将梁分为AB、BC、CD三个区段，计算每个区三个区段，计算每个区 段起点和终点的内力值段起点和终点的内力值 :2qa力力 区区 ABBCCD起终点起终点 A右右 B左左 B右右 C左左 C右右 D左左 FS M 0qaqaqaqa2qa2qa223qa223qa00 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力39（3）根据载荷情况及微分关系，判断各力区的内力图形状，）根据载荷情况及微分关系，判断各力区的内力图形状，并以相应的图线连接起来，得到剪力图和弯矩图。并以相应的图线连接起来，得到剪力图和弯矩图。力力区区A截面截面ABB截面截面BCC截面截面CDD截面截面载载荷荷Fay向上向上q=0无集无集中力中力q=负常负常数数F向下向下q=负常数负常数Fdy向上向上FS突跳突跳FAy水平水平(+)连续连续下斜线下斜线(+)突减突减F下斜线下斜线(-)突跳突跳FDyM0上斜上斜线线相切相切上凸抛上凸抛物线物线转折转折上凸抛上凸抛物线物线0 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力40（4）计算剪力弯矩最大值计算剪力弯矩最大值qaF2maxS2max23qaM注意注意：利用剪力弯矩方程作图时，：利用剪力弯矩方程作图时，坐标轴坐标轴x的正向一般的正向一般由左至右由左至右。若若根据需要，取为由右至左，此时必根据需要，取为由右至左，此时必须须注意注意q，FS和和M之间的微分关系在之间的微分关系在正负号上有变化。正负号上有变化。 熟练后，可不列表，直接画图！熟练后，可不列表，直接画图！秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力41作图示梁的剪力图和弯矩图作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：解：（1）计算支反力）计算支反力34AyFqa（ ）54CyFqa（ ） 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力42（2）计算特殊截面剪力值）计算特殊截面剪力值 将梁分为三个将梁分为三个区段，计算区段，计算每个截面的值。每个截面的值。 qaFFAA430S,S,右左，qaFqaFBB4143S,S,右左，S,S,14CCFqaFqa 右左，0S,DF（3）计算特殊截面弯矩值）计算特殊截面弯矩值0AM224143qaMqaMBB右左，221qaMC0DM 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力43（4）计算最大剪力和弯矩值）计算最大剪力和弯矩值qaFmaxS2max43qaMu注意注意：（1 1）采用上述作图法不能遗漏代表）采用上述作图法不能遗漏代表点，包括载荷变化点、约束点。点，包括载荷变化点、约束点。（2 2）剪力为零的截面的弯矩即为极）剪力为零的截面的弯矩即为极值弯矩。值弯矩。 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力44作图示梁的剪力图和弯矩图作图示梁的剪力图和弯矩图，并求出并求出 及及 ，B B处是中处是中间铰。间铰。 解：解：（1）求支反力）求支反力14DyFqa74AyByFFqa274AMqa在中间铰在中间铰B处将梁拆开两部分，处将梁拆开两部分，铰处互相作用力用铰处互相作用力用FBy代替：代替： maxSFmaxM秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力45（2）分别计算）分别计算A、B、C、D截面处的截面处的 内力值。内力值。 （3）根据载荷集度与剪力、弯矩之）根据载荷集度与剪力、弯矩之 间的微分关系，做剪力、弯矩图。间的微分关系，做剪力、弯矩图。（4）CD段剪力有零点，根据左负段剪力有零点，根据左负 右正，判断弯矩图有极值。右正，判断弯矩图有极值。令令041)(SqxqaxF 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力4622321-)4(2141)41(qaaqaFaMD（5）最大剪力、弯矩值为：）最大剪力、弯矩值为： qaF47maxS2max47qaMax41得：得：计算该截面弯矩，得：计算该截面弯矩，得： 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力47n 刚架刚架(rigid frame)是用是用刚结点刚结点将若干杆件连结而成的结构。将若干杆件连结而成的结构。 特性：在载荷作用下，各杆件在连结处不能有相对转动，特性：在载荷作用下，各杆件在连结处不能有相对转动， 因此它不仅能因此它不仅能传递力传递力，而且能，而且能传递力矩传递力矩。n 曲杆曲杆( (curved bar) )是轴线为一条曲线的杆件。当刚架或是轴线为一条曲线的杆件。当刚架或 曲杆的轴线和外力都在同一平面内时，称为曲杆的轴线和外力都在同一平面内时，称为平面刚架平面刚架或或 曲杆曲杆。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力48u 由静力平衡条件可以求出全部支座反力和内力的平面刚由静力平衡条件可以求出全部支座反力和内力的平面刚 架或曲杆称为架或曲杆称为静定平面刚架静定平面刚架或或曲杆曲杆。 曲杆的弯矩图曲杆的弯矩图u 前面所述作直梁剪力、弯矩图的方法，同样适用于平前面所述作直梁剪力、弯矩图的方法，同样适用于平 面刚架和曲杆。面刚架和曲杆。但通常将刚架和曲杆的弯矩图画在杆但通常将刚架和曲杆的弯矩图画在杆 件弯曲时受拉的一侧，而不必标注正负号；剪力图和件弯曲时受拉的一侧，而不必标注正负号；剪力图和 轴力图仍按以前的规定。轴力图仍按以前的规定。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力49 试作图示刚架的内力图试作图示刚架的内力图。 解：解：BC杆：杆：0)(1NxF)0(1ax 11S)(FxF)0(1ax 111)(xFxM)0(1ax （1）列内力方程）列内力方程将将BC段和段和AB段的坐标原点分段的坐标原点分别设在别设在C点和点和B点。点。秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力5012N)(FxF)0(2ax 22S)(FxF)0(2ax 2212)(xFaFxM)0(2ax AB杆：杆： 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力51（2）作内力图）作内力图 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力52如图示半圆形曲杆，如图示半圆形曲杆，A点处固定。点处固定。B点处有一水平载荷作用，点处有一水平载荷作用，试画出此曲杆的内力图试画出此曲杆的内力图 。 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力53解：解：曲杆可用极坐标表示横截面位置。曲杆可用极坐标表示横截面位置。（1）列内力方程）列内力方程 由平衡方程得：由平衡方程得： sinNFF (0)( )( )SFF(0)( )sinMFR(0) 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力54（2）作内力图）作内力图 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力55作图示刚架的内力图作图示刚架的内力图。 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力56解：解：（1 1）刚架有中间铰，自铰处拆开，刚架有中间铰，自铰处拆开，先求支反力，由于对称先求支反力，由于对称：qaFFEyAyExAxFqaF4（2）作）作FN图图 AB段段 qaFNBC、CD段段 4NqaFDE段段 qaFN作轴力图如图作轴力图如图 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力57（3）作）作FS图图 0q4SqaFAB段：段：BD段，段， q等于负常数，等于负常数，FS为斜为斜线，线， qaFmaxSDE段段 ：0q4SqaF 作剪力图如图。作剪力图如图。 秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学 第第6章章 弯曲内力弯曲内力58（4）作）作M图图2/2maxqaMDE段，段，FS为正常数，为正常数，M图为斜线，图为斜线，CD段，段，FS为斜线，负值，为斜线，负值，M图为图为二次抛物线。二次抛物线。BC段，段， FS为斜线，正值，为斜线，正值，M图图为二次抛物线，为二次抛物线，C处值等于零。处值等于零。 AB段，段，FS为负常数，为负常数，M图为斜线。图为斜线。